13. Тождества Бианки

Прежде чем обсуждать вторую ковариантную производную произвольного тензора, рассмотрим тензор, являющийся внешним произведением векторов

Теперь поменяем местами р и и вычтем полученное равенство из исходного. С учетом (11.2) это даст

Произвольный тензор выражается в виде суммы членов типа тогда он должен удовлетворять соотношению

Пусть является ковариантной производной вектора Тогда

Выполним в этой формуле циклические перестановки индексов и и сложим полученные три уравнения. Из левой части имеем

Правая часть дает

так как остальные члены сокращаются [см. равенство (11.5)]. Первые члены в (13.2) и (13.3) сокращаются и остается

Множитель фигурирует во всех членах этого уравнения и может быть отброшен. В результате имеем

В дополнение к условиям симметрии из разд. 11 тензор кривизны удовлетворяет этим дифференциальным уравнениям. Эти уравнения известны под названием тождеств Бианки.