18. Примеры.

а. Гамильтонов формализм со связями. Рассмотрим задачу о движении частицы в по поверхности сферы заданной уравнением

Функция Лагранжа в избыточных переменных может быть представлена в форме

Перейдем к гамильтонову формализму в избыточных переменных. Введем канонические импульсы по формуле

Неопределенный множитель Лагранжа найдем из условия связи (18.1): . Функция Гамильтона имеет вид

Легко видеть, что вектор, нормальный к поверхности является собственным вектором с нулевым собственным значением, поэтому функция Гамильтона вырождена. Для канонических уравнений движения

с функцией (18.4) справедливо тождество

В силу интегрируемости связи (18.6) для решения уравнений движения (18.5) подчиняются принципу детерминированности (см. предложение) и не зависят от величины проекции начального импульса на нормаль к поверхности (18.1). Этот пример легко обобщается на произвольное число голономных связей.

b. Системы, получающиеся при гамильтонизации произвольной системы дифференциальных уравнений по методу Лиувилля (которую также часто использует Дирак — некоторые авторы даже приписывают ее Дираку) также оказываются вырожденными. Действительно, произвольная система

эквивалентна гамильтоновой системе удвоенной размерности

где

В этом случае , следовательно, система (18.9) оказывается примером гамильтоновой системы, не допускающей лагранжево описание.

Авторы выражают благодарность за полезные консультации при написании работы.