28. Действие для электромагнитного поля

Обычное выражение для плотности действия электромагнитного поля имеет вид

Если записать его в четырехмерных обозначениях специальной теории относительности, обсуждавшихся в разд. 23, то получим

Это приводит к следующему выражению для инвариантного действия в общей теории относительности:

Следует принять во внимание, что значит, является функцией только и производных от электромагнитных потенциалов.

Будем варьировать сначала g, оставляя постоянным; тогда (но не ) является константой. Из (26.10) и (26.9) имеем

Таким образом,

где симметричный тензор определяемый соотношением

(28.3)

есть тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Заметим, что в специальной теории относительности

т. е. описывает плотность энергии, а совпадает с вектором Пойнтинга, характеризующим интенсивность потока энергии. Вариация при фиксированных с учетом (21.3) дает

Складывая (28.2) с (28.4) и умножая результат на получаем выражение для полной вариации: