12. Приложение

Доказательство тождества Пуассона для новых СП, определенных уравнением (8.3). Воспользуемся индексами для идентификации различных в. Мы имеем но определению

Пусть оператор E означает суммирование по трем циклическим перестановкам величин Тогда мы должны доказать, что

В применении к первому члену (12.1) Е дает нуль благодаря обычному тождеству Пуассона. Применение Е ко второму, четвертому и пятому членам дает

снова благодаря обычному тождеству Пуассона. Применение к шестому и восьмому членам (12.1) дает после циклической перестановки r, u, s, t в восьмом:

Из (8.2) можем заключить, что

или

Таким образом, (12.2) сводится к

после еще одного использования (8.2). Это выражение сокращается с результатом применения Е к третьему члену (12.1). Применение Е к остающемуся, седьмому члену (12.1) дает

Обозначив результат суммирования по циклическим перестановкам индексов r, s, и u одновременно индексов r, s, u, мы имеем благодаря обычному тождеству Пуассона

Замена на в (12.3) дает

так что из (12.5) следует

С помощью (8.2) это сводится к

что свидетельствует об обращении (12.4) в нуль. На этом доказательство завершается. Все выписанные выше уравнения можно понимать как сильные, поскольку слабых уравнений в доказательстве не использовалось.

Литература

[1] Dirac P. A. M. Homogeneous variables in classical dynamics, Proc. Camb. Phil. Soc., 1993, V. 29, P. 389.

[2] Dirac P. A.M. Forms of relativistic dynamics, Rev. Mod. Phys., 1949, V. 21, P. 392.