Предисловие

Пути, связывающие изначальные авторские замыслы и вышедшую книгу, часто оказываются столь своеобразными, что их описание заслуживает отдельного рассказа, который, впрочем, вряд ли будет интересен читателям. К тому же удовольствие, которое обыкновенно испытывает при этом рассказчик, никак не сможет заслонить главного события - самого выхода книги.

Выпуск книги дает хороший повод для радости ее авторам. Стоит, однако, заметить, что эта радость оказывается полной лишь в тот момент, когда каждый из выпущенных экземпляров книги найдет своего читателя, то есть того, кому книга окажется и полезной и нужной. Завершая работу над рукописью, авторы рассчитывают со временем испытать и эту радость.

Мы искренне надеемся, что вместе с нами ее разделят все те, кто имеет пусть даже и малое отношение к выходу книги. Кроме издательства и авторов, явно обозначенных на ее обложке, существуют еще и другие лица, причастные к происходящим событиям. Их совокупную роль в появлении пособия не способен переоценить ни один из авторов.

Мы считаем своим приятным долгом назвать их имена и выразить испытываемое нами чувство глубокой признательности Ольге Владимировне Виноградовой, Кириллу Евгеньевичу Виноградову и Сергею Ежкову.

Москва, Март 1996 года, А. И. Плис Е. В. Шикин

О структуре пособия

Несколько общих советов пользователю

При подготовке справочного руководства авторы исходили из того, что помещенный в него материал окажется полезным как тем, кто будет знакомиться со сплайнами впервые, так и тем, кто в своей работе сплайны уже применял. Вместе с тем это совсем не учебник, и за подробными разъяснениями и доказательствами, по-видимому, целесообразнее обратиться к соответствующим книгам и научным публикациям (часть из них указана авторами в конце пособия).

Целью авторов было создание простого по существу и доступного широкому кругу пользователей пособия, посредством которого каждый пользователь смог бы научиться достаточно успешно и эффективно решать основные задачи "на сплайны", а также получил бы определенное представление о методах, которые при этом используются.

На всех этапах работы над руководством значительное внимание уделялось выработке структуры и формы подачи материала, наиболее удобной для пользователя.

Предлагаемое пособие имеет целый ряд особенностей, на описании которых стоит остановиться подробнее.

Одна из основных идей, которую авторы постарались заложить в книгу, состоит в том, чтобы помочь пользователю в выборе именно того метода, который в наибольшей степени подходит для решения его конкретной задачи. Для ее реализации авторы используют сравнение различных подходов и методов и описание их особенностей как постоянную составляющую часть ихтожения. Этой же цели служит следование исторической и/или логической хронологии появления помещенных в книгу методов, последовательный показ того, как умножаются идеи и достоинства ранее найденных подходов при их модификации и развитии, как разрабатываемые методы постепенно освобождаются от недостатков.

Открыв пособие на произвольной странице, пользователь вправе ожидать, что в изложенном там ему удастся сравнительно легко разобраться, не изучая книгу целиком. Именно к реализации такой возможности стремились авторы, разрабатывая структуру пособия и отбирая материал для его наполнения. Однако в целом ряде случаев последовательность рассмотрения материала в книге достаточно жестко предопределена. Если, к примеру, читатель хочет познакомиться с интерполяционными сплайн-функциями двух переменных, то ему целесообразно сначала хотя бы просмотреть раздел, где описываются

интерполяционные сплайн-функции одной переменной. Совершенно аналогично погружение в раздел В-сплайновых поверхностей разумно предварить знакомством с соответствующим одномерным разделом, где речь идет -сплайновых кривых.

Хочется специально подчеркнуть, что главы, посвященные сплайн-функциям двух переменных и сплайновым поверхностям заметно сложнее тех, в которых рассматриваются сплайн-функции одной переменной и сплайновые кривые Это вполне естественно - более сложными являются сами объекты. Поэтому для того, чтобы как-то упростить пользование пособием, авторы постарались отобрать классы сплайнов так, чтобы практически каждый помещенный в пособие класс одномерных сплайнов имел в нем двумерный аналог и, в свою очередь, чтобы каждый двумерный класс опирался на одномерного предтечу.

В целом же изложение построено так, чтобы каждую главу, а во многих случаях и каждый подраздел можно было читать независимо от других. Схожесть описания методов построения различных сплайнов, равно как и минимум перекрестных ссылок, помогут пользователю лучше ориентироваться на страницах книги.

Фактически предлагаемое пособие разбито на 4 относительно независимых и тематически явно выделенных подпособия (именно так можно рассматривать главы книги). По мнению авторов, это поможет пользователю сравнительно просто получать ответы на интересующие его вопросы без того, чтобы собирать соответствующий материал по всей книге. В тех же местах, где использование материалов другой главы целесообразно (и даже необходимо), даны точные ссылки.

Отбор материала производился с тем расчетом, чтобы дать читателю возможность, познакомившись с основными фактами, понятиями и приемами, сравнительно просто войти в мир сплайнов.

Многие результаты, полученные при помощи расчетов, обладают определенной особенностью: иногда достаточно трудно бывает объяснить, почему на этом этапе вычислений нужно поступать именно так, а не иначе или какими соображениями следует пользоваться, если возникает нестандартная ситуация, и т. п. Здесь большую роль играет интуиция и опыт. С интуицией дело не всегда обстоит просто. Опыт же приобретается, причем многими способами. Настоящее пособие как раз и представляет собой один из таких путей.

Сдерживаемые не столько объемом, сколько осознанием ответственности перед читателем, мы посчитали целесообразным не заострять внимание читателя на многообразных тонкостях обращения со сплайнами, отчетливо понимая, насколько легко можно в них

увязнуть. Поэтому мы сознательно отобрали и жестко структурировали отобранный материал так, чтобы у пользователя сложилось в целом правильное рабочее представление о сплайновом инструментарии и его возможностях, чтобы пользователь мог достаточно свободно решать основные задачи приближения. Кроме того, мы попытались построить изложение таким образом, чтобы, опираясь на материал, помешенный в книгу, читатель имел возможность проверить, насколько хорошо он этот материал усвоил.

Книга разбита на две большие части, одна из которых посвящена сплайн-функциям, а вторая - геометрическим сплайнам. В первой части как бы главенствуют расчеты, в то время как во второй ведущая роль отводится изображению. Однако эти части довольно естественно связаны общностью основных идей. Одной из таких связующих идей является программная реализация сплайновых алгоритмов.