2.2.4. Построение сглаживающего бикубического сплайна

Алгоритм построения сглаживающего бикубического сплайна основан на том, что его построение можно свести к решению последовательности одномерных задач сглаживания.

1-й шаг алгоритма

На каждой линии строятся одномерные кубические сглаживающие сплайны по перехменной х с соответствующими граничными условиями (процедура построения таких сплайнов приведена в гл. 1).

2-й шаг алгоритма

Для каждого узла сетки вычисляются "исправленные" значения по формуле

3-й шаг алгоритма

аналогичен шагу: на каждой из линий для массива строится сглаживающий кубический сплайн по переменной удовлетворяющий граничным условиям соответствующего типа.

4-й шаг алгоритма

Для каждого узла сетки вычисляются новые "исправленные" значения по формуле

5-й шаг алгоритма

Для новой системы значений строится интерполяционный сплайн который и будет искомым сглаживающим сплайном.

После выполнения 5-го шага алгоритма в каждом узле сетки будут известны величины

которые полностью определяют сглаживающий бикубический сплайн, удовлетворяющий заданным граничным условиям. Алгоритм вычисления значений сплайна по заданным величинам

полностью совпадает с алгоритмом, приведенным в 2.1.4. Замечания:

1. Перечисленные выше сплайны яагяются решениями соответствующих вариационных задач в гораздо более широком шассе функций, а именно в классе

2. При помощи весовых множителей можно управлять свойствами сглаживающего сплайна, например, определяя форму слоя вблизи "экспериментальных точек в котором размещается сглаживающий сплайн. Так как в двойную сумму весовые множители входят в виде произведений, то их выбор будет оказывать влияние на характер сгшживания не в одной точке , а соответственно на линиях

3. Значительно более сложный случай, когда весовые множители в двойной сумме имеют значения здесь не рассматривается.