3.4.3. Кратные и воображаемые вершины

Составная Бета-сплайновая кривая, как правило, не проходит ни через одну вершину массива, который ее порождает. Однако заранее вполне определенно можно сказать, что начальная точка составной кривой лежит в треугольнике в треугольнике Подбором вспомогательных вершин и построением дополнительных элементарных кривых можно добиться того, чтобы начальная точка новой составной кривой выходила на отрезок располагалась ближе к вершине и даже совпадала с ней.

Аналогичных результатов можно добиться и для конечной точки. Обычно это проводится путем использования кратных или воображаемых вершин.

А. Двойные вершины

Положим и построим две новые элементарные кривые задав их параметрическими уравнениями следующего вида:

где

С учетом кривых новая составная Бета-сплайновая кривая

будет начинаться в точке

касаясь отрезка

И заканчиваться в точке

касаясь отрезка

(см. рис. 3.26, а). Кроме того, кривая у будет иметь в двух этих точках нулевую кривизну.

Б. Тройные вершины

Положим и возьмем в качестве двух новых элементарных кривых прямолинейные отрезки

где

С учетом кривых построенных ранее, новая составная В-сплайновая кривая

будет начинаться в вершине и заканчиваться в вершине (см. рис. 3.26, б).

В. Воображаемые вершины

Выбором дополнительных вершин к массиву

можно добиться выполнения различных условий на концах составной кривой.

Например, составная В-сплайновая кривая, построенная по новому массиву

где

будет начинаться в вершине касаясь отрезка

и заканчиваться в вершинр касаясь отрезка

(см. рис. 3.27). Кривизны новой кривой в точках вообще говоря, отличны от нуля.

Замечание

Дополнительные вершины можно выбрать так, чтобы в концах новой составной кривой 1-е или 2-е производные радиусов-векторов кривых и совпадали с заданными значениями (соответственно при t = 0 и t = 1).

Построение замкнутой кривой

Чтобы по заданному массиву

построить непрерывную замкнутую кривую, достаточно выбрать дополнительные вершины по правилу

и рассмотреть массив

(см. рис. 3.28).