3.5.3. Составные плоские кубические кривые, заданные в неявной форме

Плоские сплайновые кривые можно составлять из элементарных фрагментов алгебраических кривых, описываемых неявными уравнениями.

Геометрическая конструкция фрагмента алгебраической кривой 3-й степени

Пусть неколлинеарные точки. Положение точек плоскости относительно треугольника можно описывать при помощи барицентрических координат.

Пусть декартовы координаты точек - произвольная точка плоскости. Справедливо разложение

где барицентрические координаты точки относительно точек причем

Если точка лежит внутри треугольника то Возьмем произвольную точку вттри треугольника и точку лежащую на продолжении отрезка или (рис. 3.32).

В семействе неявно заданных алгебраических кривых 3-й степени

Рис. 3.32

существует кривая, которая проходит через точку касаясь отрезка через точку касаясь отрезка и через точку А, касаясь отрезка (рис. 3.33). Чтобы записать уравнение этой кривой, достаточно положить

где произвольные числа, а

Кривизна части кривой, лежащей внутри треугольника, неотрицательна.

Составная алгебраическая кривая

Пусть на плоскости задан набор точек

такой, что точки коллинеарны (рис. 3.34).

Рис. 3.33

Рис. 3.34

Кривая, составленная из элементарных фрагментов, построенных по описанному выше правилу для каждого треугольника

путем произвольного выбора интерполируемой точки касательной к искомой кривой в этой точке, и параметров формы будет выпуклой в каждом треугольнике и -непрерывной.

Выбор можно сделать универсальным для всех треугольников Например, положить и взять в качестве точек А. центры тяжести треугольников