Например, если функция принадлежит классу то
где
(здесь шаги сетки по х и по у соответственно).
Если же функция принадлежит классу то порядок аппроксимации гораздо выше:
Замечание
Приведенные формулы оценивают порядок погрешности аппроксимации заданной функции бикубическим стайном при и справедливы при любых соотношениях между Если же потребовать дополнительно, чтобы при отношение оставалось ограниченным, то порядок аппроксимации возрастет на единицу,
Б. Экстремальное свойство
По аналогии с одномерным случаем рассмотрим следующую вариационную задачу.
Пусть заданный прямоугольник.
Задача. Среди всех функций, принадлежащих классу и принимающих в узлах сетки
заданные значения
найти такую, которая доставляет минимум функционалу
Для того чтобы сформулированная задача имела единственное решение, необходимы дополнительные условия. Укажем некоторые варианты таких условий.
1. Если потребовать, чтобы допустимые функции удовлетворяли условиям
то решение вариационной задачи будет однозначно определено и этим решением будет интерполяционный бикубический сплайн.
2. Если потребовать, чтобы допустимые функции удовлетворяли граничным условиям вида
то решение вариационной задачи будет однозначно определено и этим решением будет интерполяционный бикубический сплайн.
3. Если потребовать, чтобы допустимые функции были двоякопериодическими функциями с периодами то решение вариационной задачи будет однозначно определено и этим решением будет двоякопериодический интерполяционный бикубический сплайн.
Замечание
Перечисленные выше сплайны являются решением сформулированной вариационной задачи в гораздо более широком классе функций, а именно в классе