1.1.7. Свойства интерполяционного кубического сплайна

А. Аппроксимационные свойства кубического сплайна

Аппроксимационные свойства интерполяционного сплайна зависят от гладкости функции чем выше гладкость интерполируемой функции, тем выше порядок аппроксимации и при измельчении сетки тем выше скорость сходимости.

Если интерполируемая функция непрерывна на отрезке то есть

при

Если интерполируемая функция имеет на отрезке непрерывную 1-ю производную, то есть интерполяционный сплайн, удовлетворяющий граничным условиям 1-го или 3-го типа, то при имеем

В этом случае не только сплайн сходится к интерполируемой функции, но и производная сплайна сходится к производной этой функции.

В случае если сплайн аппроксимирует на отрезке функцию а его 1-я и 2-я производные аппроксимируют соответственно функции

Б. Экстремальное свойство кубического сплайна

Интерполяционный кубический сплайн обладает еще одним полезным свойством. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Построить функцию минимизирующую функционал

на классе функций из пространства графики которых проходят через точки массива

Решение. Среди всех функций, проходящих через опорные точки и принадлежащих указанному пространству, именно кубический сплайн удовлетворяющий краевым условиям

доставляет экстремум (минимум) функционалу Замечания:

1. Часто именно это экстремальное свойство берут в качестве опредеяения интерполяционного кубического спшйна.

2. Интересно отметить, что интерполяционный кубический сплайн обладает описанным выше экстремальным свойством на очень широком классе функций, а именно на классе

В. Построение интерполяционных сплайновых кривых при помощи сплайн-функций

Выше рассматривались массивы, точки которых были занумерованы так, что их абсциссы образовывали строго возрастающую последовательность. Например, случай, изображенный на рис. 1.11, когда у разных точек массива одинаковые абсциссы, не допускался. Это обстоятельство определяло и выбор класса аппроксимирующих кривых (графики функций) и способ их построения.

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Однако предложенный выше метод позволяет достаточно успешно строить интерполяционную кривую и в более общем случае, когда нумерация точек массива

и их расположение на плоскости, как правило, не связаны (рис. 1.12). Более того, ставя задачу построения интерполяционной кривой, можно считать заданный массив неплоским, то есть

Ясно, что для решения этой общей задачи необходимо существенно расширить класс допустимых кривых, включив в него и замкнутые

кривые, и кривые, имеющие точки самопересечения, и пространственные кривые. Такие кривые удобно описывать при помощи параметрических уравнений

Потребуем дополнительно, чтобы функции обладали достаточной гладкостью, например принадлежали классу или классу

Для отыскания параметрических уравнений кривой, последовательно проходящей через все точки массива, поступают следующим образом.

1-й шаг. На произвольно взятом отрезке изменения параметра вводится вспомогательная сетка

число узлов которой совпадает с числом точек в массиве

2-й шаг. По заданному массиву строятся 3 новых вспомогательных массива (в плоском случае два (рис. 1.13)):

3-й шаг. Для каждого из массивов находятся соответствующие интерполяционные сплайн-функции

В результате для кривой, проходящей через точки (рис. 1.14 - плоский случай), получаем параметрические уравнения вида (1.3).

Рис. 1.13

Замечания:

1. Предложенный подход позволяет строить замкнутые интерполяционные кривые (при для этого при построении координатных функций нужно использовать граничные условия 3-го типа.

2. Полученная кривая будет гладкой, но не обязательно регулярной, так как возможность одновременного обращения в нуль производных

для некоторого исключать нельзя.

Рис. 1.14

Кроме того, эта кривая может иметь точки самопересечения.