4.4.4. Кратные и воображаемые вершины

В приложениях часто удобно использовать массивы, в которых совпадающие (кратные) вершины являются граничными и угловыми. В этом случае в создании граничных Бета-сплайновых фрагментов участвуют опорные вершины в числе меньше 16 (без учета кратности), что сказывается на размерах фрагментов, а также позволяет получать априорную информацию о поведении составной поверхности вблизи границы. Составная Бета-сплайновая поверхность, как правило, не содержит ни одной из вершин массива, который ее порождает.

Однако подбором вспомогательных вершин и построением дополнительных элементарных поверхностей можно добиться того, чтобы граничные кривые новой составной поверхности располагались ближе к граничным и угловым вершинам. Обычно это проводится путем использования кратных или воображаемых вершин.

А. Двойные вершины

Зададим новых вершин, положив

Эти вершины как бы "окаймляют" заданный массив и вместе с ним образуют новый

из вершин.

Замечание

Как множества точек массивы неразличимы, так как все добавленные вершины отличаются от заданных только номерами геометрически новых вершин не появилось.

Составная Бета-сплайновая поверхность определяемая массивом состоит из фрагментов радиусы-векторы которых вычисляются по формулам

Только из этих элементарных поверхностей

являются новыми (ясно, что в построении каждого из новых фрагментов принимает участие хотя бы одна новая вершина).

Взаимное расположение составных Бета-сплайновых поверхностей - старой и новой хорошо видно на рис. 4.24. Новые фрагменты схематически представлены на рис. 4.25.

Векторы скручивания в угловых вершинах четырех угловых фрагментов поверхности

с точностью до множителя равны векторам скручивания билинейных поверхностей, построенных соответственно на четверках вершин

Б. Тройные вершины

В дополнение к уже взятым вершинам зададим еще новых вершин, положив

и с учетом добавленных вершин построим новых элементарных поверхности

задав их параметрическими уравнениями вида

В результате получим новую Бета-сплайновую поверхность состоящую из фрагментов.

Некоторое представление о взаимном расположении новых фрагментов поверхности относительно старой поверхности могут дать схематические изображения, приведенные на рис. 4.26.

Все 4 угловых фрагмента поверхности S лежат на билинейных поверхностях. Векторы скручивания в точках этих четырех фрагментов постоянны по направлению и имеют соответственно вид:

Кроме того, все 4 угловые вершины лежат в углах составной Бета-сплайновой поверхности построенной при помощи тройных вершин

(см. рис. 4.27).

В. Воображаемые вершины

Выбором дополнительных вершин к массиву

можно добиться выполнения различных условий на границе составной поверхности. Обычно новые (воображаемые) вершины ищутся в виде линейных комбинаций заданных вершин.

Рассмотрим составную Бета-сплайновую поверхность порожденную массивом

вершин которого подобраны посредством следующих формул:

Составная Бета-сплайновая поверхность определяемая массивом обладает следующим свойством: кривизна общей кривой соседних фрагментов в точке, лежащей на граничной кривой этой поверхности, равна нулю.

В рассматриваемом случае векторы скручивания в угловых точках поверхности с точностью до множителя равны векторам скручивания билинейных поверхностей, построенных на определяемых этими точками четверках вершин.

Например, вектор скручивания в угловой точке фрагмента равен

где