Глава 1. Сплайн-функции одной переменной

Пусть на отрезке задана сетка :

Точки называются граничными узлами сетки а точки ее внутренними узлами (рис. 1.1). Сетка называется равномерной, если расстояния между любыми двумя соседними узлами одинаковы.

Функция заданная на отрезке называется стайном порядка (степени ), если эта функция:

1) на каждом из отрезков

является многочленом заданной степени то есть может быть записана в виде

и

2) раз непрерывно дифференцируема на отрезке то есть Замечание

Индекс чисел а указывает на то, набор коэффициентов которым определяется функция На каждом частичном отрезке

На каждом из отрезков сплайн является многочленом степени и определяется на этом отрезке коэффициентом. Всего частичных отрезков - Значит, для того чтобы полностью определить сплайн, необходимо найти чисел

Условие означает непрерывность функции и ее производных во всех внутренних узлах

сетки Число таких узлов Тем самым для отыскания коэффициентов всех многочленов получается условий (уравнений).

Для полного определения сплайна недостает условий (уравнений). Выбор дополнительных условий определяется характером рассматриваемой задачи, а иногда и просто желанием пользователя.

Наиболее часто рассматриваются задачи интерполяции и сглаживания, когда требуется построить тот или иной сплайн по заданному массиву точек на плоскости (рис. 1.2).

В задачах интерполяции требуется, чтобы график сплайна проходил через точки что накладывает на его коэффициенты дополнительных условий (уравнений). Остальные условий (уравнений) для однозначного построения сплайна чаще всего задают в виде значений младших производных сплайна на концах рассматриваемого отрезка граничных (краевых) условий. Возможность выбора различных граничных условий позволяет строить сплайны, обладающие самыми разными свойствами.

В задачах сглаживания сплайн строят так, чтобы его график проходил вблизи точек , а не через них. Меру этой близости можно определять по-разному, что приводит к значительному разнообразию сглаживающих сплайнов.

Описанные возможности выбора при построении сплайн-функций далеко не исчерпывают всего их многообразия. И если первоначально рассматривались только кусочно-полиномиальные сплайн-функции, то по мере расширения сферы их приложений стали возникать сплайны, "склеенные" и из других элементарных функций. Один из таких классов - класс напряженных сплайнов, обладающих полезными интересными свойствами, приведен в этой главе в качестве примера.