2.1.6. Построение сплайновых поверхностей при помощи сплайн-функций

Выше рассматривались массивы, точки которых были занумерованы так, что и их абсциссы, и их ординаты образовывали строго возрастающие последовательности. Это обстоятельство определяло и выбор класса аппроксимирующих поверхностей (графики функций), и способ их построения.

Однако предложенный метод позволяет достаточно успешно строить интерполяционую поверхность и в более общем случае, когда нумерация точек массива

и их расположение в пространстве, как правило, не связаны.

Ясно, что для решения этой общей задачи необходимо существенно расширить класс допустимых поверхностей, включив в него и поверхности, которые нельзя однозначно спроектировать ни на одну из координатных плоскостей, и поверхности с самопересечениями и самоналеганиями. Такие поверхности удобно описывать при помощи параметрических уравнений

Потребуем дополнительно, чтобы функции обладали достаточной гладкостью, например принадлежали классу или классу

Для отыскания параметрических уравнений поверхности, последовательно проходящей через все точки массива, поступим следующим образом.

1-й шаг. На произвольно взятом прямоугольнике изменения параметров вводится вспомогательная сетка

число узлов которой совпадает с числом точек в массиве

2-й шаг. По заданному массиву строятся 3 новых вспомогательных массива:

3-й шаг. Для каждого из массивов находятся соответствующие интерполяционные сплайн-функции

В результате мы получаем параметрические уравнения поверхности, проходящей через массив точек

Замечание

Полученная поверхность будет мадкой, но не обязательно регулярной, так как возможность

для некоторой точки исключать нельзя.

Кроме того, эта поверхность может иметь линии самопересечения и участки самоналегания.