3.1.4. Трехгранник Френе
Пусть параметрическое векторное уравнение регулярной кривой у.
Тогда
- единичный вектор касательной кривой в точке
Пусть векторы и неколлинеарны.
Плоскость проходящая через точку параллельно и называется соприкасающейся плоскостью кривой у в этой точке, а ее нормальный вектор х является направляющим вектором бинормали (рис. 3.3).
В теории кривых важную роль играют единичный вектор бинормали
и единичный вектор равной нормали
(он лежит в соприкасающейся плоскости).
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Тройка взаимно перпендикулярных единичных векторов
называется основным трехгранником или трехгранником Френе (рис. 3.4).
В случае произвольной параметризации векторы трехгранника Френе вычисляются по формулам
а в случае естественной параметризации по формулам
Трехгранник Френе не зависит от параметризации кривой.
Замечание
Формулы теории кривых, в которые входит естественный параметр, как правило, выыядят проще и часто более явно несут в себе отражаемый ими геометрический смысл. Однако в приложениях (в частности, при построении кривых) использование естественной параметризации весьма затруднительно, хотя бы потому, что зачастую еще нет самой кривой.