3.1.4. Трехгранник Френе

Пусть параметрическое векторное уравнение регулярной кривой у.

Тогда

- единичный вектор касательной кривой в точке

Пусть векторы и неколлинеарны.

Плоскость проходящая через точку параллельно и называется соприкасающейся плоскостью кривой у в этой точке, а ее нормальный вектор х является направляющим вектором бинормали (рис. 3.3).

В теории кривых важную роль играют единичный вектор бинормали

и единичный вектор равной нормали

(он лежит в соприкасающейся плоскости).

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Тройка взаимно перпендикулярных единичных векторов

называется основным трехгранником или трехгранником Френе (рис. 3.4).

В случае произвольной параметризации векторы трехгранника Френе вычисляются по формулам

а в случае естественной параметризации по формулам

Трехгранник Френе не зависит от параметризации кривой.

Замечание

Формулы теории кривых, в которые входит естественный параметр, как правило, выыядят проще и часто более явно несут в себе отражаемый ими геометрический смысл. Однако в приложениях (в частности, при построении кривых) использование естественной параметризации весьма затруднительно, хотя бы потому, что зачастую еще нет самой кривой.