4.4.3. Составные Бета-сплайновые поверхности
Составной Бета-сплайновой поверхностью, определяемой массивом из 
вершин
называется поверхность 
которую можно представить в виде объединения 
элементарных Бета-сплайновых поверхностей
поверхность 
описывается параметрическими уравнениями вида
или в матричной форме:
где 
базисная матрица Бета-сплайна.
Некоторое представление о взаимном расположении элементарных фрагментов составной поверхности может дать схематическое изображение на рис. 4.22.
Свойства Бета-сплайновых поверхностей
Составная Бета-сплайновая поверхность, порожденная массивом Р:
1+ является 
-непрерывной;
2+ как правило, не проходит ни через одну из опорных вершин массива;
3+ граничные кривые составной Бета-сплайновой поверхности суть составные Бета-сплайновые кривые; их опорные ломаные - границы опорной многогранной поверхности (опорного графа), в частности граничная кривая, описываемая радиусом-вектором 
является составной Бета-сплайновой кривой с опорным массивом вершин 
;
4+ составная Бета-сплайновая поверхность лежит в объединении 
выпуклых оболочек, порожденных наборами
(схематическое разбиение составной Бета-сплайновой поверхности показано на рис. 4.23);
5+ составная Бета-сплайновая поверхность аффинно-инвариантна;
6+ составная Бета-сплайновая поверхность "повторяет" опорную многогранную поверхность;
7+ если все вершины массива 
лежат в одной плоскости, то определяемая этим массивом составная Бета-сплайновая поверхность представляет собой плоский криволинейный четырехугольник, лежащий в этой же плоскости;
8+ изменение одной вершины в массиве приводит к изменению только части поверхности: при изменении вершины 
нужно пересчитать параметрические уравнения только 16 элементарных поверхностей:
9- составная Бета-сплайновая поверхность проективно-неинвариантна;
10+ поведение составной Бета-сплайновой поверхности определяется не только массивом вершин, но и набором свободных параметров 
при заданном наборе вершин формой составной
Бета-сплайновой поверхности можно управлять, меняя параметры формы.
Замечания:
1. Параметры формы 
не обязательно должны быть одинаковыми для всех элементарных фрагментов. С учетом взаимного расположения вершин массива их можно выбирать так, чтобы
1) пара значений 
для каждого элементарного фрагмента быт своя,
2) на каждом единичном квадрате 
функции 
линейно зависели от параметров 
3) функции 
и 
быть разными для разных элементарных фрагментов 
Как правило, выбор параметров формы 
определяется взаимным расположением вершин в массиве. Если размеры четырехугольников
различаются не слишком сильно, то выбор параметров, одинаковых для всех частичных поверхностей, дает достаточно хорошее приближение. 
же этого не наблюдается и разница в размерах этих четырехугольников весьма ветка, то хороших результатов можно добиться подбором переменных параметров формы.
2. На взаимное расположение вершин в массиве не накладывается никаких ограничений: некоторые из них могут и совпадать. Однако следует иметь в виду, что в подобных случаях поверхность может потерять свою регулярность. Впрочем, если номера совпадающих вершин сильно разнятся, то никакой потери регулярности не происходит.
Простейшие из случаев совпадения вершин рассматриваются ниже.
