3.2.4. Рациональные кривые Безье

По заданному массиву вершин (элементарная) рациональная кривая Безье степени определяется уравнением следующего вида:

где многочлены Бернштейна.

Неотрицательные числа сумма которых положительна, называются весами. Если все веса равны между собой, получается стандартная элементарная кривая Безье степени.

Свойства рациональных кривых Безье

Элементарная рациональная кривая Безье, порожденная массивом Р:

1+ является гладкой кривой;

2+ начинается в 1-й вершине массива касаясь отрезка опорной ломаной,

и заканчивается в последней его точке касаясь отрезка опорной ломаной,

3+ лежит в выпуклой оболочке, порожденной массивом опорных вершин

4+ симметрична - при перемене порядка вершин массива на противоположный,

не изменяет своей формы;

5+ аффинно-инвариантна;

6+ "повторяет" контрольную ломаную (в частности, число точек пересечения рациональной кривой Безье с произвольной прямой не больше числа точек пересечения с этой прямой контрольной ломаной);

7+ в случае, если опорные вершины лежат на одной прямой (коллинеарны), рациональная кривая Безье совпадает с отрезком ;

8+ в случае, если опорные вершины лежат в одной плоскости (компланарны), рациональная кривая Безье также лежит в этой плоскости;

9+ элементарная рациональная кривая Безье проективно-инвариантна;

10+ поведение рациональной кривой Безье определяется не только массивом вершин, но и набором свободных параметров - весов параметров формы; при заданном наборе вершин формой рациональной кривой Безье можно управлять, меняя весовые множители;

11- степень функциональных коэффициентов напрямую связана с количеством вершин в массиве (на единицу больше) и растет при его увеличении;

12- при добавлении в массив хотя бы одной вершины возникает необходимость полного пересчета параметрических уравнений элементарной кривой Безье;

13- изменение хотя бььодной вершины в массиве приводит к заметному изменению всей кривой Безье.

Свойство рациональной кубической кривой Безье

Рассмотрим два набора вершин:

При условии, что вершины совпадают, рациональные кубические кривые Безье порожденные этими наборами, имеют общую точку.

Пусть полненная составная кривая.

При условии, что вершины

коллинеарны, подбором весов

можно добиться непрерывного изменения касательного вектора вдоль кривой у. Достаточно положить

При условии, что вершины

компланарны (лежат в одной плоскости), то есть векторы

коллинеарны, подбором весов можно добиться непрерывности вектора кривизны вдоль кривой у. Их нужно взять так, чтобы выполнялось равенство

где

Это свойство рациональных кубических кривых Безье позволяет поместить элементарную рациональную кубическую кривую Безье в разрыв между любыми двумя заданными (уже построенными) регулярными кривыми (в частности, элементарными рациональными кубическими кривыми Безье) так, что получаемая в результате составная кривая будет иметь непрерывный касательный вектор и непрерывный вектор кривизны.

Задача. По заданным набору из четырех вершин и двум неотрицательным числам найти веса так, чтобы значения кривизны рациональной кубической кривой Безье, порождаемой заданным массивом, в концах опорной ломаной совпадали с заданными числами в вершине в вершине

Решением задачи является набор

где

Замечание

Рис. 3.20

Для планарного набора опорная ломаная которого имеет -форму (рис. 3.20% числа должны иметь разные знаки (кривизна тоской кривой Безье меняет знак).