3.3.2. Составные кубические B-сплайновые кривые

(Составной) кубической В-сплайновой кривой, определяемой массивом

называется кривая у, которую можно представить в виде объединения элементарных кубических -сплайновых кривых

кривая у описывается параметрическим уравнением следующего вида:

где базисная матрица кубической -сплайновой кривой.

Единая параметризация

Рассматривая составную кривую у как целое, более естественно пользоваться единой параметризацией.

Наиболее простой является параметризация с равноотстоящими целочисленными узлами. Для массива из опорных вершин составная -сплайновая кривая строится из элементарных фрагментов. Если каждый из них определен на единичном отрезке, то длина общего промежутка изменения параметра должна быть равной Взяв за начальную точку, получаем отрезок В этом случае узлы параметризации» определяются по формуле

Описанный выбор отрезка параметризации позволяет записать уравнение составной кубической -сплайновой кривой у следующим образом:

где

- параметрическое векторное уравнение элементарной кубической -сплайновой кривой

Рис. 3.22

Свойства составной кубической B-сплайновой кривой

Составная кубическая -сплайновая кривая, порожденная массивом

1+ является - гладкой кривой в промежутке в точке стыка элементарных кривых выполняются равенства

(рис. 3.22);

2+ как правило, не проходит ни через одну точку заданного массива,

3+ лежит в объединении выпуклых оболочек, порожденных четверками вершин

(рис. 3.23);

Рис. 3.23

Рис. 3.24

4+ "повторяет" опорную ломаную (рис. 3.24) (в частности, число точек пересечения составной кубической -сплайновой кривой с произвольной прямой не больше числа точек пересечения опорной ломаной с этой прямой);

5+ если опорные вершины массива лежат на одной прямой, то составная кубическая

В-сплайновая кривая также лежит на этой прямой (между вершинами

6+ если опорные вершины массива лежат в одной плоскости, то составная кубическая В-сплайновая кривая также лежит в этой плоскости;

7+ изменение одной вершины в массиве приводит к изменению только части кривой: при изменении вершины нужно пересчитать параметрические уравнения только четырех элементарных кривых: (рис. 3.25);

Рис. 3.25

8+ при добавлении в массив одной вершины возникает необходимость пересчета параметрических уравнений только четырех, элементарных кривых, в формировании которых участвует эта вершина;

9+ составная кубическая B-сплайновая кривая аффинно-инвариантна;

10- кубическая B-сплайновая кривая проективно-неинвариантна;

11- в уравнениях, описывающих составную кубическую -сплай-новую кривую, нет свободных параметров - заданный массив однозначно определяет составную кубическую -сплайновую кривую, не давая возможности изменять ее форму.

Замечание

На взаимное расположение вершин в массиве не накладывается никаких ограничений: они могут и совпадать. Однако следует иметь в виду, что в подобных случаях кривая может потерять свою регулярность. Впрочем, если номера совпадающих вершин сильно разнятся, то никакой потери регулярности не происходит.

Случай, когда совпадают две или три первые (последние) вершины, рассматривается ниже.