Глава 2. Сплайн-функции двух переменных
Пусть в прямоугольнике
задана сетка
где
(рис. 2.1). Точки
называются внутренними узлами сетки 
точки
- граничными узлами заданной сетки, а точки
- ее угловыми узлами.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Сетка со делит прямоугольник К на ячейки
(рис. 2.2).
Функция 
заданная на прямоугольнике 
называется бикубическим (дваждыкубическим) сплайном или бикубической сплайн-функцией, если:
1) в каждой прямоугольной ячейке 
функция являе многочленом 3-й степени как по 
так и по у, то есть
2) сама функция 
и ее производные
непрерывны в прямоугольнике А, то есть 
Замечания:
1. Индексы 
коэффициентов указывают на то, что набор величин, которым определяется сплайн-функция 
в каждой ячейке 
свой.
2. В каждой прямоугольной ячейке 
бикубический сплайн 
можно записать в виде
или в виде
Первая запись позволяет говорить, что бикубический сплайн 
в каждой ячейке 
представляет собой кубический многочлен по переменной 
коэффициенты которого суть кубические многочлены по переменной 
Аналогичный смысл имеет и вторая запись.
Это обстоятельство дает основания считать, что алгоритм построения двумерных кубических сплайнов в значительной степени опирается на алгоритм построения одномерных сплайнов.
В каждой прямоугольной ячейке 
сплайн-функция 
определяется 16 коэффициентами:
Всего прямоугольных ячеек 
Значит, для того, чтобы полностью описать бикубический сплайн на сетке 
необходимо найти 
чисел
Наиболее часто рассматриваются задачи интерполяции и сглаживания, когда требуется построить тот или иной сплайн по заданному массиву точек
(рис. 2.3).
Рис. 2.3
В задачах интерполяции требуется, чтобы график сплайна проходил через точки 
Это требование накладывает на его коэффициенты ряд дополнительных условий (уравнений), которых, однако, недостаточно для однозначного построения сплайна. Необходимый для этого набор условий (уравнений) чаше всего задают в виде значений младших производных сплайна в граничных узлах сетки со - граничных (краевых) условий. Возможность выбора различных граничных условий позволяет строить сплайны, обладающие самыми разными свойствами.
В задачах сглаживания сплайн строят так, чтобы его график проходил вблизи точек 
а не через них. Меру этой близости можно определять по-разному, что приводит к значительному разнообразию сглаживающих сплайнов.
В этой главе мы останавливаемся на сплайн-функциях двух переменных, которые представляют собой прямое обобщение соответствующих одномерных сплайнов. Однако рассматриваемые двумерные сплайны далеко не исчерпывают всего их многообразия, которое определяется и выбором граничных (краевых) условий, и исходным массивом точек, и классом функций, используемых для построения элементарных фрагментов, и т. д.
