1.1.5. Советы пользователю

Выбор граничных (краевых) условий и узлов интерполяции позволяет в известной степени управлять свойствами интерполяционных сплайнов.

А. Выбор граничных (краевых) условий

Выбор граничных (краевых) условий является одной из центральных проблем при интерполяции функций. Он приобретает особую важность в том случае, когда необходимо обеспечить высокую точность аппроксимации функции сплайном вблизи концов отрезка Граничные значения оказывают заметное влияние на поведение сплайна вблизи точек и это влияние по мере удаления от них быстро ослабевает.

Выбор граничных (краевых) условий часто определяется наличием дополнительных сведений о поведении аппроксимируемой функции

Если на концах отрезка известны значения 1-й производной то естественно воспользоваться граничными (краевыми) условиями 1-го типа.

Если на концах отрезка известны значения 2-й производной то естественно воспользоваться граничными (краевыми) условиями 2-го типа.

Если есть возможность выбора между граничными (краевыми) условиями 1-го и 2-го типа, то предпочтение следует отдать условиям 1-го типа.

Если периодическая функция, то следует остановиться на граничных (краевых) условиях 3-го типа.

В случае, если никакой дополнительной информации о поведении аппроксимируемой функции нет, часто используют так называемые естественные граничные (краевые) условия

Однако следует иметь ввиду, что при таком выборе граничных (краевых) условий точность аппроксимации, функции сплайном вблизи концов отрезка резко снижается. Иногда используются граничные (краевые) условия 1-го или 2-го типа, но не с точными значениями соответствующих производных, а с их разностными аппроксимациями. Точность такого подхода невысока.

Практический опыт расчетов показывает, что в рассматриваемой ситуации наиболее целесообразным является выбор граничных (краевых) условий 4-го типа.

Б. Выбор узлов интерполяции

Если 3-я производная функции терпит разрыв в некоторых точках отрезка то для улучшения качества аппроксимации эти точки следует включить в число узлов интерполяции.

Если разрывна 2-я производная то для того, чтобы избежать осцилляции сплайна вблизи точек разрыва, необходимо принять специальные меры. Обычно узлы интерполяции выбирают так, чтобы точки разрыва 2-й производной попадали внутрь промежутка такого, что

где . Величину а можно выбрать путем численного эксперимента (часто достаточно положить

Существует набор рецептов по преодолению трудностей, возникающих при разрывной 1-й производной В качестве одного из

самых простых рецептов можно предложить такой: разбить отрезок аппроксимации на промежутки, где производная непрерывна, и на каждом из этих промежутков построить сплайн.