1.1.6. Выбор интерполяционной функции (плюсы и минусы)

А. Интерполяционный многочлен Лагранжа

По заданному массиву (рис. 1.3) интерполяционный многочлен Лагранжа определяется формулой

где

Рис. 1.3

Свойства интерполяционного многочлена Лагранжа целесообразно рассматривать с двух противоположных позиций, обсуждая основные достоинства отдельно от недостатков.

Основные достоинства 1-го подхода:

1) график интерполяционного многочлена Лагранжа проходит через каждую точку массива;

2) конструируемая функция легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа на сетке нравно 1);

3) построенная функция имеет непрерывные производные любого порядка;

4) заданным массивом интерполяционный многочлен определен однозначно.

Основные недостатки 1-го подхода:

1) степень интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от числа узлов сетки, и чем больше это число, тем выше степень интерполяционного многочлена и, значит, тем больше требуется вычислений;

2) изменение хотя бы одной точки в массиве требует полного пересчета коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа;

3) добавление новой точки в массив увеличивает степень интерполяционного многочлена Лагранжа на единицу и также приводит к полному пересчету его коэффициентов;

4) при неограниченном измельчении сетки степень интерполяционного многочлена Лагранжа неограниченно возрастает.

Поведение интерполяционного многочлена Лагранжа при неограниченном измельчении сетки вообще требует особого внимания.

Комментарии:

О приближении непрерывной функции многочленом

Известно (Вейернгграсс, 1885), что всякая непрерывная (а тем более гладкая) на отрезке функция может быть как угодно хорошо приближена на этом отрезке многочленом.

Опишем этот факт на языке формул. Пусть функция, непрерывная на отрезке Тогда для любого найдется такой многочлен что для любого из промежутка будет выполняться неравенство

(рис. 1.4). Отметим, что многочленов даже одной степени, приближающих функцию с указанной точностью, существует бесконечно много

Рис. 1.4

Построим на отрезке сетку Ясно, что ее узлы, вообще говоря, не совпадают с точками пересечения графиков многочлена и функции (рис. 1.5). Поэтому для взятой сетки многочлен не является интерполяционным.

Об интерполировании непрерывной функции.

При аппроксимации непрерывной функции интерполяционным многочленом Лагранжа его график не

Рис. 1.5

только не обязан быть близким к графику функции в каждой точке отрезка но может уклоняться от этой функции как угодно сильно. Приведем два примера.

Пример 1. (Рунге, 1901). При неограниченном увеличении числа узлов для функции на отрезке (рис. 1.6) выполняется предельное равенство

Пример 2. (Бернштейн, 1912). Последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа построенных на равномерных сетках сот для непрерывной фикции

на отрезке [-1, 1], с возрастанием числа узлов не стремится к функции (рис. 1.7).

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Б. Кусочно-линейная интерполяция

При отказе от гладкости интерполируемой функции соотношение между числом достоинств и числом недостатков можно заметно изменить в сторону первых.

Построим кусочно-линейную функцию путем последовательного соединения точек прямолинейными отрезками (рис. 1.8).

Основные достоинства 2-го подхода:

1) график кусочно-линейной функции проходит через массива;

2) конструируемая функция легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов соответствующих линейных функций для сетки со равно

3) заданным массивом построенная функция определена однозначно;

4) степень многочленов, используемых для описания интерполяционной функции, не зависит от числа узлов сетки (равна единице);

5) изменение одной точки в массиве требует вычисления четырех чисел (коэффициентов двух прямолинейных звеньев, исходящих из новой точки);

6) добавление дополнительной точки в массив требует вычисления четырех коэффициентов.

Кусочно-линейная функция достаточно хорошо ведет себя и при измельчении сетки.

Основной недостаток 2-го подхода:

аппроксимирующая кусочно-линейная функция не является гладкой: первые производные терпят разрыв в узлах сетки (узлах интерпомции).

В. Сплайн-интерполяция

Предложенные подходы можно объединить так, чтобы число перечисленных достоинств обоих подходов сохранилось при одновременном уменьшении числа недостатков. Это можно сделать путем построения гладкой интерполяционной сплайн-функции степени

Основные достоинства 3-го подхода:

1) график построенной функции проходит через каждую точку массива;

2) конструируемая функция сравнительно легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов соответствующих многочленов для сетки со равно ;

3) заданным массивом построенная функция определена однозначно;

4) степень многочленов не зависит от числа узлов сетки и, следовательно, не изменяется при его увеличении;

5) построенная функция имеет непрерывные производные до порядка включительно;

6) построенная функция обладает хорошими аппроксимационными свойствами.

Краткая справка

Предложенное название - сплайн - не является случайным: введенные нами гладкие кусочно-полиномиальные функции и чертежные сплайны тесно связаны.

Рассмотрим гибкую идеально тонкую линейку, проходящую через расположенные на плоскости опорные точки массива Согласно закону Бернулли-Эйлера линеаризованное уравнение изогнутой линейки имеет вид

где изгиб; изменяющийся линейно от опоры к опоре изгибающий момент; жесткость линейки.

Рис. 1.9

Функция описывающая форму линейки, является многочленом 3-й степени между каждыми двумя соседними точками массива (опорами) и дважды непрерывно дифференцируема на всем промежутке

Комментарий: об интерполировании непрерывной функции.

В отличие от интерполяционных многочленов Лагранжа, последовательность интерполяционных кубических сплайнов на равномерной сетке всегда сходится к интерполируемой непрерывной функции, причем с улучшением дифференциальных свойств этой функции скорость сходимости повышается.

Пример. Для функции

кубический сплайн на сетке с числом узлов дает погрешность аппроксимации того же порядка, что и интерполяционный многочлен а на сетке с числом узлов эта погрешность настолько мала, что в масштабе обычного книжного рисунка просто не может быть показана (рис. 1.10) (интерполяционный многочлен дает в этом случае погрешность около

Рис. 1.10