4.1.10. Геометрическая непрерывность
При работе с поверхностями важно помнить о следующих двух обстоятельствах. С одной стороны, поверхность как множество точек в пространстве может иметь прекрасные геометрические характеристики, но описываться при этом достаточно плохими параметрическими уравнениями. С другой стороны, хорошие дифференциальные свойства координатных функций, задающих поверхность, не всегда обеспечивают ее регулярность.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1
Поверхность 
задана параметрическими уравнениями
(рис. 4.10).
Результат: координатные функции имеют производные всех порядков, а поверхность 
имеет особенность - коническую точку.
Рис. 4.10
Рис. 4.11
Пример 2
Поверхность 
задана параметрическими уравнениями
(рис. 4.11).
Результат: координатные функции имеют непрерывные производные до 4-го порядка включительно, а поверхность 
имеет особенность - ребро.
Причина особенностей - 
в обоих примерах одна и та же.
Требование регулярности
обеспечивает отсутствие у поверхности и ребер, и конических точек.
При построении составных поверхностей наиболее типичной является ситуация, когда каждая из регулярных поверхностей, участвующих в процессе создания новой поверхности, имеет собственную параметризацию. Несогласованность параметризаций может явиться (и часто является) причиной особенностей, возникающих вдоль линий сопряжения. Это - особенности параметризации.
Предположим, что заданы две регулярные поверхности 
описываемые соответственно параметрическими уравнениями
и такие, что их граничные кривые имеют общий участок (рис. 4.12). В этом случае составная поверхность 
называется непрерывной или 
непрерывной.
непрерывная составная поверхность называется 
непрерывной, или 
поверхностью, если ее касательная плоскость при переходе через общую кривую изменяется непрерывно.
Рис. 4.12
Пример 3
Составная поверхность, заданная параметрическими уравнениями
является 
-поверхностью. Это просто вырезок координатной плоскости 
(рис. 4.13).
У каждой 
-поверхности существует такая параметризация, относительно которой эта поверхность является 
-регулярной.
непрерывная составная поверхность 
называется 
непрерывной или 
поверхностью, если ее гауссова кривизна при переходе через
Рис. 4.13
общую кривую изменяется непрерывно. Пример 4
Составная поверхность, заданная параметрическими уравнениями
является 
-поверхностью (рис. 4.14).
Рис. 4.14
У каждой 
-поверхности существует такая параметризация, относительно которой эта поверхность является 
-регулярной.
