2.1.3. Граничные (краевые) условия

Недостающие условия задаются в виде ограничений на значения производных сплайна в граничных и угловых узлах сетки При построении интерполяционного бикубического сплайна наиболее часто используются граничные условия следующих четырех типов.

Граничные (краевые) условия 1-го типа

- в граничных узлах сетки задаются значения первых частных производных по х и по у искомой функции, а в угловых узлах - значения смешанной производной.

Число граничных (краевых) условий 1-го типа равно Наглядное представление о способе задания сплайна, отвечающего граничным условиям этого типа, дает рис. 2.4. На нем жирными точками отмечены узлы сетки, в которых задаются значения сплайна горизонтальными и вертикальными стрелками указаны узлы, в которых задаются значения первых частных производных и соответственно, а ромбиком - значения смешанной производной

Рис. 2.4

Граничные (краевые) условия 2-го типа

- в граничных узлах сетки задаются значения вторых частных производных по х и по у искомой функции, а в угловых узлах - значения смешанной производной

Число граничных (краевых) условий 2-го типа равно

Наглядное представление о способе задания сплайна, отвечающего граничным условиям этого, типа также дает рис. 2.4. На нем жирными точками отмечены узлы сетки, в которых задаются значения сплайна горизонтальными и вертикальными стрелками указаны узлы, в которых задаются значения вторых частных производных соответственно, а ромбиком - значения смешанной производной

Граничные (краевые) условия 3-го типа

называются периодическими. В этом случае сплайн и его частные производные должны быть двоякопериодическими функциями с периодом по переменной х и с периодом по переменной у.

Условия на сплайн-функцию входят в группу условий а общее число условий на ее производные равно

Граничные (краевые) условия 4-го типа

требуют, чтобы на линиях были непрерывны следующие производные искомого сплайна:

а на линиях производные

Комментарий. Сплайн, удовлетворяющий граничным (краевым) условиям 4-го типа, обладает повышенной гладкостью: в прямоугольниках

прилегающих к вершинам прямоугольника непрерывны все его производные

Замечание

Кроме перечисленных, возможны и смешанные граничные условия, то есть условия, относящиеся по разным переменным к разным типам. При этом если, например, по переменной х заданы условия 1-го типа, а по переменной - 2-го типа, то в вершинах прямоугольника следует задавать частные производные