4.5. Другие сплайновые поверхности

4.5.1. Интерполяционные бикубические поверхности Эрмита

По заданным вершинам

и набору векторов

(элементарная) бикубическая эрмитова поверхность определяется при помощи матричного уравнения

где

Матрица называется базисной матрицей бикубической эрмитовой поверхности, а матрица ее геометрической матрицей.

Геометрический смысл векторов, определяющих элементарную бикубическую эрмитову поверхность

Вершины являются угловыми точками элементарной бикубической эрмитовой поверхности (рис. 4.28).

В точке вектор касается -линии эрмитовой поверхности, а вектор касается ее -линии в этой вершине (для того чтобы построенная поверхность была регулярной, естественно потребовать, чтобы каждая пара векторов была неколлинеарна). Что касается вектора то это вектор скручивания в вершине

В частности, в вершине элементарной эрмитовой поверхности имеем

Рис. 4.28

При линейной замене параметров

преобразующей единичный квадрат [0,1] в прямоугольник форма элементарной поверхности Эрмита изменяется. Для ее сохранения необходимо заменить векторы соответственно на

Составные бикубические поверхности Эрмита

(Составной) бикубической поверхностью Эрмита, определяемой массивом

и векторами

называется поверхность которую можно представить в виде объединения элементарных бикубических поверхностей Эрмита

(рис. 4.29); поверхность описывается параметрическим уравнением следующего вида:

где базисная матрица бикубической эрмитовой поверхности, а геометрическая матрица имеет следующий вид:

Векторы

можно выбрать так, чтобы составная поверхность Эрмита была -гладкой. Вся исходная информация, необходимая для их определения, может быть записана в виде табл. 4.1.

Таблица 4.1. (см. скан)

Рис. 4.29

Опишем формулы, посредством которых вычисляются эти векторы.

Начнем с матричных формул для вычисления векторов и во внутренних вершинах массива Имеем:

(прямоугольные скалярные матрицы имеют одинаковые размеры элементы первой и последней строк матрицы X известны, матричное уравнение однозначно разрешимо),

(прямоугольные скалярные матрицы имеют одинаковые размеры элементы первой и последней строк матрицы известны, матричное уравнение однозначно разрешимо).

Если векторы найдены, то векторы скручивания во всех внутренних и граничных вершинах массива (за исключением четырех уже заданных угловых можно вычислить так:

сначала по формулам

вычисляются векторы скручивания в граничных вершинах (прямоугольные скалярные матрицы имеют одинаковые размеры первый и последний элементы столбца известны, матричное уравнение однозначно разрешимо), а затем по формулам

вычисляются векторы скручивания в граничных вершинах (прямоугольные скалярные матрицы имеют одинаковые размеры первый и последний элементы столбца известны, матричное уравнение однозначно разрешимо). Тем самым полностью построены массивы

производных радиуса-вектора вдоль -линий

производных радиуса-вектора вдоль -линий

векторов скручивания

Завершающим шагом в построении составной эрмитовой поверхности является вычисление радиусов-векторов элементарных фрагментов по формуле

Свойства составной бикубической поверхности Эрмита

Составная бикубическая поверхность Эрмита, порожденная массивом

и векторами

1+ является -гладкой поверхностью (имеет непрерывную кривизну);

2+ проходит через все вершины массива

3+ касательные векторы к координатным линиям составной поверхности во внутренней вершине а также векторы скручивания однозначно определяются через вершины массива и векторы заданные в граничных вершинах;

4- не лежит в выпуклой оболочке, порожденной заданным массивом;

5- изменение одной вершины в массиве или одного из заданных векторов приводит к изменению всей поверхности;

6- при добавлении в массив одной вершины возникает необходимость пересчета всех параметрических уравнений;

7+ составная бикубическая поверхность Эрмита аффинно-инвариантна;

8- заданные векторы однозначно определяют составную бикубическую поверхность Эрмита, не давая возможности хоть как-то влиять на ее форму;

9- бикубическая поверхность Эрмита проективно-неинвариантна.