3.4.2. Составные Бета-сплайновые кривые

(Составной) Бета-стайновой кривой, определяемой массивом

называется кривая у, которую можно представить в виде объединения элементарных Бета-сплайновых кривых

кривая описывается параметрическим уравнением следующего вида:

где базисная матрица Бета-сплайна.

Единая параметризация

Рассматривая составную кривую у как целое, более естественно пользоваться единой параметризацией.

Наиболее простой является параметризация с равноотстоящими целочисленными узлами. Для массива из опорных вершин составная Бета-сплайновая кривая строится из элементарных фрагментов. Если каждый из них определен на единичном отрезке, то длина общего промежутка изменения параметра должна быть равной Взяв за начальную точку; получаем отрезок . В этом случае узлы параметризации определяются по формулам

Описанный выбор отрезка параметризации позволяет записать уравнение составной кубической -сплайновой кривой у следующим образом:

где

- параметрическое векторное уравнение элементарной Бета-сплайновой кривой

Свойства составной Бета-сплайновой кривой

Бета-сплайновая кривая, порожденная массивом

1+ является -гладкой кривой; в точках стыка элементарных кривых выполняются равенства

2+ как правило, не проходит ни через одну вершину заданного массива;

3+ лежит в объединении выпуклых оболочек, порожденных четверками вершин

(рис. 3.23);

4+ повторяет опорную ломаную (см. рис. 3.24) (в частности, число точек пересечения составной Бета-сплайновой кривой с произвольной прямой не больше числа точек пересечения контрольной ломаной с этой прямой);

5+ если опорные вершины массива лежат на одной прямой, то составная Бета-сплайновая кривая также лежит на этой прямой (между вершинами );

6+ если опорные вершины массива лежат в одной плоскости, то составная Бета-сплайновая кривая также лежит в этой плоскости;

7+ изменение одной вершины в массиве приводит к изменению только части кривой: при изменении вершины нужно пересчитать параметрические уравнения только четырех элементарных кривых: в формировании которых принимает участие эта вершина (см. рис. 3.25);

8+ при добавлении в массив одной вершины возникает необходимость пересчета параметрических уравнений только четырех элементарных кривых;

9+ составная Бета-сплайновая кривая аффинно-инвариантна; 10" Бета-сплайновая кривая проективно-неинвариантна;

11+ параметры позволяют изменять форму Бета-сплайновой кривой, правда сразу всю целиком.

Замечания:

1. Параметры формы не обязательно должны быть одинаковыми для всех элементарных фрагментов. С учетом взаимного расположения вершин массива их можно выбирать так, чтобы:

1) пара значений для каждого элементарного фрагмента бы своя;

2) на каждом единичном отрезке [0,1] функции линейно зависели от параметра

3) функции были разными для разных элементарных фрагментов

Как правило, выбор параметров формы опредагяется взаимным расположением вершин в массиве. Если расстояния между соседними вершинами приблизительно равны (различаются не слишком сильно), то выбор параметров формы, одинаковых для всех частичных кривых, дает достаточно хорошее приближение. Если же взаимное расположение вершин нельзя рассматривать как равномерное, то хороших результатов можно добиться подбором переменных параметров формы.

2. На взаимное расположение вершин в массиве не накладывается никаких ограничений: они могут и совпадать. Однако следует иметь в виду, что в подобных случаях кривая может потерять свою регулярность. Впрочем, если номера совпадающих вершин сильно разнятся, то никакой потери регулярности не происходит.

Случай, когда совпадают две или три первые (последние) вершины, рассматривается ниже.