1.2.4. Построение сглаживающего кубического сплайна
Опишем способ вычисления коэффициентов кубического сплайна, при котором число величин, подлежащих определению, равно 
На каждом из промежутков 
сглаживающая сплайн-функция ищется в следующем виде:
Здесь
а числа 
являются решением системы линейных алгебраических уравнений, вид которой зависит от типа граничных (краевых) условий.
Опишем сначала, как находятся величины 
Для краевых условий 1-го и 2-го типа система линейных уравнений для определения величин 
записывается в следующем виде:
где
(
известные числа).
Коэффициенты
зависят от выбора граничных условий. Граничные (краевые) условия 1-го типа:
Граничные (краевые) условия 2-го типа:
В случае граничных (краевых) условий 3-го типа система для определения чисел 
записывается так:
причем все коэффициенты вычисляются по формулам (1.4) (величины с индексами 
к считаются равными: 
).
Важное замечание
Матрицы систем невырожденны, и потому каждая из этих систем имеет единственное решение.
Если числа 
найдены, то величины 
легко определяются по формулам
где
В случае периодических граничных (краевых) условий
и
