1.1.4. Построение интерполяционного кубического сплайна

Опишем способ вычисления коэффициентов кубического сплайна, при котором число величин, подлежащих определению, равно а не

На каждом из промежутков интерполяционная сплайн-функция ищется в следующем виде:

Здесь

а числа являются решением системы линейных алгебраических уравнений, вид которой зависит от типа граничных (краевых) условий.

Для граничных (краевых) условий 1-го и 2-го типов эта система имеет следующий вид:

где

Коэффициенты зависят от выбора граничных (краевых) условий.

Граничные (краевые) условия 1-го типа:

Граничные (краевые) условия 2-го типа:

В случае граничных (краевых) условий 3-го типа система для определения чисел записывается так:

где

Число неизвестных в последней системе равно так как из условия периодичности вытекает, что

Дня граничных (краевых) условий 4-го типа система для определения чисел имеет вид:

где

По найденному решению системы числа и можно определить при помощи формул

Важное замечание

Матрицы всех трех линейных алгебраических систем являются матрицами с диагональным преобладанием. Такие матрицы невырожденных и потому каждая из этих систем имеет единственное решение.

Теорема. Интерполяционный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям (1.1) и граничному (краевому) условию одного из перечисленных четырех типов, существует и единственен.

Таким образом, построить интерполяционный кубический сплайн - это значит найти его коэффициенты

Когда коэффициенты сплайна найдены, значение сплайна в произвольной точке отрезка можно найти по формуле (1.2). Однако практических вычислений больше подходит следующий алгоритм нахождения величины

Пусть Сначала вычисляются величины по формулам

а затем находится величина

где, как обычно,

Применение этого алгоритма существенно сокращает вычислительные затраты на определение величины