1.2. Сглаживающие кубические сплайны

1.2.1. О постановке задачи сглаживания

Пусть заданы сетка и набор чисел

Комментарий к исходным данным. На практике часто приходится иметь дело со случаем, когда значения в массиве

заданы с некоторой погрешностью. Фактически это означает, что для каждого указан интервал

и любое число из этого интервала может быть взято в качестве значения Величины удобно интерпретировать, например, как результаты измерений некоторой функции при заданных значениях переменной содержащие случайную погрешность. При решении задачи восстановления функции по таким ее "экспериментальным" значениям вряд ли целесообразно использовать интерполяцию, поскольку интерполяционная функция будет послушно воспроизводить причудливые осцилляции, обусловленные случайной компонентой в массиве Более естественным является подход, основанный на процедуре сглаживания, призванной как-то уменьшить элемент случайности в результатах измерений. Обычно в таких задачах требуется найти функцию, значения которой при попадали бы в соответствующие интервалы и которая обладала бы, кроме того, достаточно хорошими свойствами (рис. 1.15). Например, имела бы непрерывные 1-е и 2-е производные или же ее график был бы не слишком сильно искривлен, то есть не имел сильных осцилляшш.

Рис. 1.15

Рис. 1.16

Задача подобного рода возникает и тогда, когда по заданному (точно) массиву требуется построить функцию, которая проходила бы не через заданные точки, а вблизи них и к тому

же изменялась достаточно плавно (рис. 1.16). Другими словами, искомая функция как бы сглаживала заданный массив, а не интерполировала его.

Пусть заданы сетка со и два набора чисел

Задача. Построить на отрезке гладкую функцию значения которой в узлах сетки со отличаются от чисел на заданные величины

Замечание

Сформулированная задача ссаживания состоит в восстановлении гладкой функции, заданной таблично. Ясно, что такая задача имеет много различных решений. Накладывая на конструируемую функцию дополнительные условия, можно добиться необходимой однозначности.