А. Двойные вершины
Положим 
и построим две новые элементарные кривые 
задав их параметрическими уравнениями следующего вида:
где 
С учетом кривых 
новая составная кубическая 
-сплайновая кривая
будет начинаться в точке
касаясь отрезка 
и заканчиваться в точке
касаясь отрезка 
(рис. 3.26, а). Кроме того, кривая. у будет иметь в двух этих точках нулевую кривизну.
Рис. 3.26
Б. Тройные вершины
Положим 
и возьмем в качестве двух новых элементарных кривых 
прямолинейные отрезки
где 
.
С учетом кривых и 
новая составная В-сплайновая кривая
будет начинаться в вершине 
и заканчиваться в вершине 
.
В. Воображаемые вершины
Подбором дополнительных вершин 
к массиву
можно добиться выполнения различных условий на концах составной кривой.
Например, составная 
-сплайновая кривая, построенная по новому массиву
где
будет начинаться в вершине 
касаясь отрезка 
и заканчиваться в вершине 
касаясь отрезка 
(рис. 3.27). Кривизны новой кривой в точках 
вообще говоря, отличны от нуля.
Замечание
Дополнительные вершины 
можно выбрать так у чтобы в концах новой составной кривой 1-е или 2-е производные радиусов-векторов
Рис. 3.27
кривых и совпадали с заданными значениями (соответственно при 
Построение замкнутой кривой
Чтобы по заданному массиву
построить 
-гладкую замкнутую кривую, достаточно выбрать дополнительные вершины 
по правилу
и рассмотреть массив
(при условии, что 
Неравномерное расположение узлов
Перейдем к случаю, когда узлы 
расположены на отрезке изменения параметра 
неравномерно,
По заданному массиву
составная 
-сплайновая кривая определяется подобно тому, как это делается при равномерном разбиении отрезка изменения параметра:
однако теперь функциональные коэффициенты существенно зависят от промежутков между узлами и определяются рекурсивно
Свойства функциональных коэффициентов 
Функциональные коэффициенты 
:
1+ неотрицательны,
2+ в сумме составляют единицу:
Замечание
Выбор узлов параметризации может быть совершенно произвольным. Однако часто весьма удобной оказывается параметризация, в которой промежуток изменения параметра 
и узлы 
определяются длинами соответствующих хорд: 
-сплайновая кривая, как правило, не проходит ни через одну вершину определяющего ее массива. Однако расположение ее начальной и конечной точек всегда известно: начальная точка 
составной кривой у лежит в треугольнике 
а конечная 
в треугольнике 
Подбором вспомогательных вершин и построением дополнительных элементарных кривых можно добиться того, чтобы начальная точка новой составной кривой выходила на отрезок 
располагалась ближе к вершине 
и даже совпадала с ней. Аналогичных результатов можно добиться и для конечной точки. Обычно это проводится путем использования кратных или воображаемых вершин.
