4.2.4. Рациональные поверхности Безье

По заданному массиву

(элементарная) рациональная поверхность Безье определяется уравнением следующего вида:

где многочлены Бернштейна.

Неотрицательные числа сумма которых положительна, называются весами. В случае, если все веса равны между собой, получается стандартная элементарная поверхность Безье.

Важный частный случай. При имеем элементарную бикубическую рациональную поверхность Безье, порожденную массивом из 16 вершин

и описываемую уравнением

где

Свойства рациональных бикубических поверхностей Безье

Элементарная рациональная бикубическая поверхность Безье, порожденная массивом Р:

1+ является гладкой поверхностью;

2+ граничные кривые элементарной бикубической поверхности Безье суть элементарные рациональные кубические кривые Безье (управляемые, правда, разными наборами весовых коэффициентов); их опорные ломаные - границы опорной многогранной поверхности (опорного графа), в частности граничная кривая, описываемая радиусом-вектором , является элементарной рациональной кривой Безье с опорным массивом вершин все 4 угловые вершины опорного многогранника лежат на поверхности Безье,

и поверхность касается угловых граней опорного многогранника, например для угловой вершины выполняются равенства, содержащие 3 весовых отношения

(касательные векторы элементарной бикубической поверхности Безье в угловой вершине коллинеарны звеньям соответствующих граничных опорных ломаных, исходящих из этой вершины),

(вектор скручивания в угловой вершине оценивает степень отклонения опорной вершины от касательной плоскости элементарной бикубической поверхности Безье в вершине (для

каждой из трех других угловых вершин выполняются аналогичные соотношения);

3+ элементарная рациональная бикубическая поверхность Безье лежит в выпуклой оболочке, порожденной массивом

4+ элементарная рациональная бикубическая поверхность Безье аффинно-инвариантна;

5+ элементарная рациональная бикубическая поверхность Безье "повторяет" опорную многогранную поверхность;

6+ если все вершины массива лежат в одной плоскости, то определяемая этим массивом элементарная рациональная бикубическая поверхность Безье представляет собой плоский криволинейный четырехугольник, лежащий в этой плоскости;

7+ поведение рациональной бикубической поверхности Безье определяется не только массивом вершин, но и набором свободных параметров - весовых множителей при заданном наборе вершин формой элементарной рациональной бикубической поверхности Безье можно управлять, меняя весовые коэффициенты;

8- изменение хотя бы одной вершины в массиве приводит к заметному изменению всей элементарной рациональной поверхности Безье;

9- априорные сведения о расположении элементарной рациональной бикубической поверхности Безье (принадлежность выпуклой оболочке заданного массива вершин) являются достаточно грубыми,

10+ элементарная рациональная поверхность Безье проективно-инвариантна.

Замечание

При построении составной рациональной бикубической поверхности Безье следует иметь в виду, что

1) определяющий ее массив

не может быть произвольным: числа тип должны удовлетворять условию (впрочем, этдго всегда можно добиться путем добавления в исходный массив новых вершин),

2) хотя выбором весов можно влиять на форму составной поверхности, однако в общем случае она будет всего лишь непрерывной, и кривые стыка элементарных фрагментов будут на этой поверхности ребрами.