3.2.2. Свойства кривых Безье
При описании элементарных кривых Безье в качестве функциональных весовых множителей берутся многочлены Берниггейна
Свойства, которыми они обладают, оказывают существенное влияние на поведение элементарных кривых Безье. Укажем некоторые из них.
Многочлены Бернштейна
1+ неотрицательны,
2+ в сумме составляют единицу:
3+ не зависят от вершин массива 
(универсальны).
Основные свойства кривых Безье
Элементарная кривая Безье, порожденная массивом Р:
1+ является гладкой кривой, в частности 1-ю и 2-ю производные радиуса-вектора 
можно записать так:
2+ начинается в 1-й вершине 
массива 
касаясь отрезка 
опорной ломаной,
и заканчивается в последней его вершине 
касаясь отрезка 
опорной ломаной,
(рис. 3.13);
3+ лежит в выпуклой оболочке, порожденной массивом 
(рис. 3.14);
4+ симметрична - сохраняет свою форму при перемене порядка вершин массива на противоположный; 
5+ аффинно инвариантна;
6+ "повторяет" опорную ломануто (рис. 3.15) (в частности, число точек пересечения кривой Безье с произвольной прямой не больше числа точек пересечения с этой прямой опорной ломаной);
Рис. 3.13
Рис. 3.14
Рис. 3.15
7+ в случае, если опорные вершины 
лежат на одной прямой (коллинеарны), кривая Безье совпадает с отрезком 
;
8+ в случае, если опорные вершины 
лежат в одной плоскости (компланарны), кривая Безье лежит в этой же плоскости;
9- степень функциональных коэффициентов напрямую связана с количеством вершин в массиве (на единицу больше) и растет при его увеличении;
10- при добавлении в массив хотя бы одной вершины возникает необходимость полного пересчета параметрических уравнений элементарной кривой Безье;
11- изменение хотя бы одной вершины в массиве приводит к заметному изменению всей кривой Безье;
12- априорные сведения о расположении кривой Безье (принадлежность выпуклой оболочке заданного массива вершин) являются достаточно грубыми (на рис. 3.16 показан вид кривых Безье для массива из четырех вершин на плоскости при разном порядке их нумерации; нетрудно видеть, что, находясь в одном и том же выпуклом четырехугольнике и пытаясь повторить ход соответствующих опорных ломаных, эти кривые сильно разнятся);
Рис. 3.16
13- в уравнении, описывающем элементарную кривую Безье, нет свободных параметров - заданный массив однозначно определяет кривую Безье, не давая возможности хоть как-то влиять на ее форму;
14- элементарная кривая Безье проективно - неинвариантна.
