4.3.3. Составные бикубические В-сплайновые поверхности

Составной бикубической В-сплайновой поверхностью, определяемой массивом из вершин

называется поверхность которую можно представить в виде объединения элементарных бикубических -сплайновых поверхностей

поверхность описывается параметрическими уравнениями вида

или в матричной форме:

где базисная матрица бикубического -сплайна. Взаимное расположение элементарных фрагментов составной поверхности схематически представлено на рис. 4.22.

Рис. 22

Свойства бикубических В-сплайновых поверхностей

Составная бикубическая В-сплайновая поверхность, порожденная массивом Р:

1+ является -непрерывной;

2+ как правило, не проходит ни через одну из опорных вершин массива;

3+ граничные кривые составной бикубической -сплайновой поверхности суть составные кубические -сплайновые кривые; их опорные ломаные - границы опорной многогранной поверхности (опорного графа), в частности граничная кривая, описываемая радиусом-вектором является составной кубической -сплайновой кривой с опорным массивом вершин ;

4+ составная бикубическая -сплайновая поверхность лежит в объединении выпуклых оболочек, порожденных наборами

(схематическое разбиение составной бикубической -сплайновой поверхности показано на рис. 4.23);

Рис. 4.23

5+ составная бикубическая -сплайновая поверхность аффинно-инвариантна;

6+ составная бикубическая -сплайновая поверхность "повторяет" опорную многогранную поверхность;

7+ если все вершины массива лежат в одной плоскости, то определяемая этим массивом составная бикубическая -сплайновая поверхность предсташгяет собой плоский криволинейный четырехугольник, лежащий в этой же плоскости;

8+ изменение одной вершины в массиве приводит к изменению только части поверхности: при изменении вершины нужно пересчитать параметрические уравнения только 16 элементарных поверхностей:

9- составная бикубическая -сплайновая поверхность проективно-неинвариантна;

10+ поведение составной бикубической -сплайновой поверхности определяется только массивом вершин.

Замечание

На взаимное расположение вершин в массиве не накладывается никаких ограничений: некоторые из них могут и совпадать. Однако следует иметь в виду, что в подобных случаях поверхность может потерять свою регулярность. Впрочем, если номера совпадающих вершин сильно разнятся, то никакой потери регулярности не происходит.

Простейшие из случаев совпадения вершин рассматриваются ниже.