3.1.5. Кривизна и кручение кривой
Для производных векторов трехгранника Френе 
регулярной кривой справедлива следующая формула {формула Серре-Френе):
где 
кривизна, 
кручение кривой в рассматриваемой точке.
Кривизну и кручение произвольной регулярной кривой можно вычислить посредством следующих формул:
Величины 
не зависят от выбора параметризации кривой у и показывают степень ее искривленности: кривизна кривой характеризует степень отклонения кривой от прямой линии (кривизна прямой тождественно равна нулю), а кручение - от плоскости (кручение любой плоской регулярной кривой тождественно равно нулю). Вектор К, вычисляемый по формулам
называется вектором кривизны кривой у. Этот вектор лежит в соприкасающейся плоскости кривой в точке, перпендикулярен касательной к кривой в этой точке, и его длина равна кривизне кривой в точке 
Окружность с центром в точке
радиуса 
называется соприкасающейся окружностью кривой у в точке 
Соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости кривой у, проходящей через точку 
и имеет с кривой в этой точке касание, порядок которого не ниже второго. Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой, а ее радиус - радиусом кривизны кривой в точке 
(рис. 3.5).
Рис. 3.5
