2.1.4. Построение интерполяционного бикубического сплайна

Для описания алгоритма исходную информацию удобно расположить ввиде табл. 2.1.

Таблица 2.1 (см. скан)

Во внутренненей части таблицы располагаются значения сплайна в узлах сетки Окаймляющие строки и столбцы заполняются численными значениями соответствующих производных (только в случае граничных условий 1-го или 2-го типа).

Алгоритм построения интерполяционного бикубического сплайна основан на том, что при фиксированном значении одной из переменных (например, ) сам сплайн и его частная производная по у являются интерполяционными кубическими сплайнами по переменной х.

1-й шаг алгоритма

По каждой строке таблицы, включая граничные (если они имеются), строятся одномерные кубические интерполяционные сплайны по переменной х с краевыми условиями, взятыми из граничных столбцов (если они имеются). Построение каждого одномерного сплайна сводится к отысканию чисел

которые совпадают со значениями производной сплайна в узлах сетки Эти числа удобно расположить без окаймляющих столбцов в виде табл. 2.2.

Таблица 2 (см. скан)

При граничных условиях 1-го и 2-го типа в верхней и нижней строках таблицы размешаются значения в граничных узлах сетки со производных соответственно. При граничных условиях 3-го или 4-го типа по переменной у этих окаймляющих строк не будет.

2-й шаг алгоритма

По каждому столбцу табл. 2.2 строятся интерполяционные кубические сплайны являющиеся частными производными по переменной х искомого сплайна на линиях

Построение каждого из сплайнов сводится к определению чисел которые являются производными по переменной у вспомогательных сплайнов значит, производными искомого сплайна в узлах сетки

3-й шаг алгоритма

аналогичен шагу: по данным табл. 2.1 строятся одномерные интерполяционные сплайны по переменной у, удовлетворяющие граничным условиям соответствующего типа. В результате будут найдены значения

После выполнения 3-го шага алгоритма в каждом узле сетки будут известны величины

которые полностью определяют интерполяционный бикубический сплайн, удошгетворяющий заданным граничным условиям.

Алгоритм вычисления значений сплайна

Для того чтобы вычислить значение интерполяционного бикубического сплайна в произвольной точке прямоугольника определим следующие параметры:

Введем 4 вспомогательные функции:

- и два вектора -

Тогда искомый сплайн можно вычислить посредством формулы

где матрица имеет следующий вид: