3.1. Элементарные сведения из дифференциальной геометрии кривых

3.1.1. Параметризованные кривые

Параметрически заданной пространственной кривой называется множество у точек пространства, декартовы координаты х, у и z которых определяются посредством соотношений

где функции, непрерывные на отрезке или в векторно-матричной форме:

Эти соотношения называют параметрическими уравнениями кривой у или просто параметризацией кривой у

3.1.2. Гладкие и регулярные кривые

Пространственная кривая у называется -гладкой относительно заданной параметризации, если векторная функция является -гладкой на отрезке то есть каждая из координатных функций имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно (в точках вычисляются односторонние производные, соответственно правая и левая).

Гладкая параметризация называется регулярной, если

где точкой обозначается дифференцирование по параметру Величина

называется скоростью кривой (относительно заданной параметризации) в точке , а

- длиной дуги отрезка кривой (рис. 3.2).

Рис. 3.2

3.1.3. Замена параметра

Замена параметра где изменяет параметрические уравнения кривой у

где функция, обратная функции и ее скорость

но сохраняет форму кривой и ее гладкость (последнее при условии соответствующей гладкости функции

Параметризация, где в качестве параметра выбирается длина дуги регулярной кривой, называется естественной параметризацией, а сама длина дуги - естественным параметром. Скорость кривой относительно естественной параметризации равна единице в каждой точке,

(здесь штрихом обозначено дифференцирование по длине дуги).