1.2.6. Построение сглаживающих сплайновых кривых при помощи сплайн-функций
Выше рассматривались массивы, точки которых были занумерованы так, что их абсциссы образовывали строго возрастающую последовательность. Например, случай, когда у разных точек массива одинаковые абсциссы, не допускался. Это обстоятельство определяло и выбор класса сглаживающих кривых (графики функций) и способ их построения.
Однако предложенный выше метод позволяет достаточно успешно строить сглаживающую кривую и в более общем случае, когда нумерация точек массива
и их расположение на плоскости не связаны. Более того, ставя задачу построения сглаживающей кривой, можно считать заданный массив неплоским, то есть
Ясно, что для решения этой общей задачи необходимо существенно расширить класс допустимых кривых, включив в него и замкнутые кривые, и кривые, имеющие точки самопересечения, и пространственные кривые. Такие кривые удобно описывать при помощи параметрических уравнений
Потребуем дополнительно, чтобы функции 
обладали достаточной гладкостью, например принадлежали классу 
или классу 
Для отыскания параметрических уравнений сглаживающей кривой поступают так:
1-й шаг. На произвольно взятом отрезке 
изменения параметра 
вводится вспомогательная сетка
число узлов которой совпадает с числом точек в массиве 
шаг. По заданному массиву 
строится 3 новых вспомогательных массива (в плоском случае два):
3-й шаг. Для каждого из массивов 
находятся соответствующие сглаживающие сплайн-функции 
В результате для кривой, сглаживающей массив 
получаем параметрические уравнения вида (1.6) (см. рис. 1.14, плоский случай).
Замечания:
1. Предложенный подход позволяет строить замкнутые слаживающие кривые (при 
этого при построении координатных функций 
нужно использовать граничные условия 3-го типа.
2. Полученная кривая будет гладкой, но не обязательно регулярной, так как возможность одновременного обращения в нуль производных,
для некоторого 
исключать нельзя. Кроме того, эта кривая может иметь точки самопересечения.
