1.3.2. Кубические В-сплайны
Определение В-сплайнов
В-сплайном нулевой степени, построенным на числовой прямой по сетке 
называется функция вида
В-стайн степени 
построенный на числовой прямой по сетке 
определяется посредством рекуррентной формулы
Графики 
-сплайнов 1-й - и 2-й - 
— степеней представлены соответственно на рис. 1.17 и 1.18.
В-сплайн произвольной степени к Цожет быть отличен от нуля только на некотором отрезке (определяемом к 
узлами).
Рис. 1.17
Кубические 
-сплайны удобнее нумеровать так, чтобы сплайн был отличен от нуля на отрезке 
Приведем формулу для кубического сплайна 3-й степени для случая равномерной сетки (с шагом 
). Имеем:
Функция 
а) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке 
то есть принадлежит классу 
б) отлична от нуля только на четырех последовательных отрезках 
Отрезок 
называется носителем функции 
Рис. 1.18.
Типичный график кубического 
-сплайна представлен на рис. 1.19.
Дополним сетку со вспомогательными узлами
взятыми совершенно произвольно.
По расширенной сетке 
можно построить семейство из 
кубических 
-сплайнов:
Рис. 1.19
Это семейство образует базис в пространстве кубических сплайнов на отрезке 
Тем самым произвольный кубический сплайн построенный на отрезке 
по сетке 
из 
может быть представлен на этом отрезке в виде линейной комбинации
Условиями задачи коэффициенты 
этого разложения определяются однозначно.
В случае, когда заданы значения 
функции в ухтах сетки и значения 
производной функции на концах сетки (задача интерполяции с граничными условиями 1-го рода), эти коэффициенты вычисляются из системы следующего вида:
После исключения величин 
получается линейная система с неизвестными 
и 
-диагональной матрицей. Условие
обеспечивает диагональное преобладание и, значит, возможность применения метода прогонки для ее разрешения.
Замечания:
1. Линейные системы аналогичного вида возникают при рассмотрении и других задач интерполяции.
2. В сравнении с алгоритмами, описанными в 1.1, применение 
-сплайнов в задачах интерполяции позволяет уменьшить объем хранимой информации, то есть существенно снизить требования к объему памяти компьютера, хотя и приводит к увеличению числа операций.
