§ 2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Применив к дифференциальному уравнению (2.1) преобразование Лапласа, получим

где — преобразование Лапласа для выходного сигнала системы; -преобразование Лапласа для входного сигнала; Мн — многочлен, отображающий начальные условия.

Введем следующие обозначения:

Тогда выражение (2.3) примет вид

Это уравнение связывает изображение выходного сигнала системы с изображением входного сигнала и начальным состоянием системы. Функция характеризует динамические свойства системы РА, она не зависит от управляющего воздействия и полностью определяется параметрами системы эту функцию называют передаточной, а функцию -передаточной функцией относительно начального состояния системы РА.

При нулевых начальных условиях передаточная функция системы РА равна отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала. Передаточная функция является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:

Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет порядок системы РА. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не превышает степени полинома знаменателя. Это условие называют физической реализуемостью системы РА; оно означает, что нельзя создать систему РА, передаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.

Рис. 2.1. Расположение нулей и полюсов передаточной функции на плоскости комплексного переменного

Корни полинома числителя передаточной функции называют нулями, а корни полинома знаменателя полюсами системы РА. Так как коэффициенты передаточной функции — действительные числа, то невещественные нули и полюсы могут быть только комплексно-сопряженными величинами. При анализе систем РА нули и полюсы (особенности передаточной функции) удобно изображать точками на плоскости комплексного переменного (рис. 2.1). Если передаточная функция системы не содержит особенностей в правой части плоскости то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой.