§ 12.4. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Решение уравнений (12.9) и (12.10) обычно связано с большими вычислительными трудностями, так как коэффициенты гармонической линеаризации имеют сложную зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того, помимо определения амплитуды и частоты возможных автоколебаний в нелинейной системе, необходимо оценить их устойчивость. В инженерной практике для этого используется частотный метод, который базируется на приближенном выражении для передаточной функции нелинейного звена, определяемой следующим выражением:

где коэффициенты вычисляются по (12,2).

Если нелинейная характеристика однозначна, то

Передаточная функция (12.11) определяет амплитуду и фазу первой гармоники колебаний сигнала на выходе нелинейного звена:

где амплитудная фазовая характеристики нелинейного звена; -амплитуда колебаний на входе нелинейного звена.

Таким образом, сигнал на выходе нелинейного звена

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой системы

Из выражения (12.12) следует, что частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы зависит не только от частоты входного сигнала, как это имеет место в линейных системах, но и от его амплитуды. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами Данное условие является также условием существования автоколебаний в нелинейной системе, т. е.

С учетом (12.12) условие (12.13) принимает вид

или

Решение уравнения (12.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы и годографа обратной характеристики нелинейной части, взятой с обратным знаком. Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Устойчивость автоколебательного режима оценивается следующим образом. Режим автоколебаний устойчив, если точка на годографе нелинейной части соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению со значением в точке пересечения годографов (12.14), не охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. В противном случае автоколебательный режим неустойчив. На рис. 12.8, а годографы

пересекаются в точках бис. Точка определяет неустойчивый режим автоколебаний, так как точка годографа соответствующая увеличенной амплитуде, охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. Точке с соответствует устойчивый режим автоколебаний, амплитуда которого определяется по годографу и равна а частота — по годографу и равна

Рис. 12.8. К определению устойчивости автокабелей в нелинейной системе

Рис. 12.9. К определению параметров автокабелей в системах с однозначными нелинейными характеристиками

На рис. 12.8, б дан пример расположения годографов для случая, когда автоколебания в нелинейной системе отсутствуют.

На рис. 12.9, а, б изображены годографы нелинейных характеристик звеньев, которые часто встречаются при исследовании нелинейных систем РА. Из этих характеристик следует, что в нелинейных системах, частотные

характеристики линейных частей которых не имеют точек пересечения о участием действительной оси от —1 до , автоколебания отсутствуют, т. е. когда выполняется условие устойчивости линейной системы, получаемой из нелинейной путем замены нелинейного звена линейным.