ГЛАВА 8. АНАЛИЗ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

§ 8.1. ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ РА

Развитие высококачественных систем РА потребовало разработки новых методов их анализа и синтеза. Эти методы базируются на понятии пространства состояний. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.

Рассмотрим методику составления векторных дифференциальных уравнений для систем РА с одним входом и одним выходом, передаточная функция которых

Такой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

Введем следующее обозначение:

Составим систему дифференциальных уравнений:

Коэффициенты находят из условия эквивалентности системы уравнений (8.3) исходному уравнению (8.1), Согласно (8.3),

Продифференцировав в (8.4) с учетом последнего уравнения системы (8.3), получим

Подставив в последнее выражение соотношение (8.2) и сгруппировав слагаемые при одинаковых порядках производных от в левой и от в правой части,

найдем дифференциальное уравнение системы в виде

Приравняв коэффициенты при одинаковых порядках производных в уравнениях (8.1) и (8.6), запишем.

Из введенной системы уравнений (8.3) следует, что производные не зависят от производных входного сигнала

Переменные в системе уравнений (8.3) можно рассматривать как составляющие вектора

где индекс определяет операцию транспонирования матрицы.

Вектор называют вектором состояния системы, а его составляющие -переменными состояния. В пространстве, осями координат которого являются переменные состояния, каждому моменту времени соответствует вектор Величина и положение этого вектора с течением времени изменяются, в результате чего вектор описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.

Систему уравнений (8.3) можно записать в виде следующего векторного дифференциального уравнения:

Выражение (8.2) определяет уравнение выхода системы

Здесь

матрица системы размером

- матрица управления размером

- матрица наблюдения размером

Элементы матрицы системы А определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров. Матрица управления В характеризует влияние на переменные состояния входного сигнала, а матрица наблюдения С— связь выходного сигнала системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е. они могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем.

В реальных системах РА степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, поэтому и ряд коэффициентов оказывается равным нулю. При этом матрица управления

где порядок полинома, числителя передаточной функции системы.

В общем случае система РА имеет входов и I выходов. Матрица системы А не изменяется по сравнению с матрицей систем с одним входом. Матрица управления В становится прямоугольной размером а матрица наблюдения С — прямоугольной размером

На рис. 8.1 показана структурная схема системы РА, соответствующая векторному дифференциальному уравнению (8.8); двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи. На рис. 8.2 изображена схема, составленная из интеграторов; введенные переменные состояния — это сигналы на выходах интеграторов.

Следует иметь в виду, что выбор переменных состояния это неоднозначная операция. Для иллюстрации

этого положения представим передаточную функцию систе мы РА в виде

где — полюсы системы;

Рис. 8.1. Структурная схсма системы РА в векторной форме

Рис. 8.2. Структурная схема системы РА в переменных состояния

Выражению (8.10) соответствует схема, представленная на рис. 8.3. Если сигналы на выходах интеграторов снова принять за переменные состояния, то систему с передаточной функцией (8.10) можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:

В этом случае выходной сигнал

Системе уравнений (8.11) соответствует векторное дифференциальное уравнение

Выходной сигнал системы (8.12) описывается векторным уравнением вида

Здесь

— вектор состояния размером

— матрица системы размером

Рис. 8.3. Структурная схема системы РА в переменных состояния по полюсам

— матрица управления размером ;

— матрица наблюдения размером

Из сравнения уравнений (8.8) и (8.13) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы,

управления, наблюдения и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходной сигнал системы.

Ранее векторные дифференциальные уравнения были определены для стационарных систем РА. В нестационарных системах матрицы в уравнениях (8.8) и (8.9) будут переменными и векторные дифференциальные уравнения примут вид