§ 12.2. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Рассмотрим метод гармонической линеаризации нелинейных характеристик, когда нелинейное - звено является статическим. Пусть на вход линейного звена действует сигнал

Сигнал на выходе этого звена также будет периодическим. Разложив его в ряд Фурье, получим где слагаемое, учитывающее вторые и более высокие гармонические составляющие.

Коэффициенты ряда Фурье вычисляют по формулам

При определении разложения (12.1) полагали, что постоянная составляющая отсутствует. Так как то разложение (12.1) можно

записать в виде

Последнее выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты коэффициентами гармонической линеаризации.

Таким образом, нелинейное звено при воздействии гармонического сигнала описывается уравнением (12.3), которое с точностью до высших гармоник является линейным. Эта операция и называется гармонической линеаризацией нелинейного звена. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации являются постоянными. Различным амплитудам входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической линеаризации. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного звена.

Уравнение гармонической линеаризации -это линейное уравнение, поэтому и вся система РА становится линейной. Для ее исследования могут быть использованы методы, разработанные для линейных систем. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет выявить специфические свойства нелинейных систем, которые не могут быть определены при использовании обычной линеаризации.

Определим коэффициент гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик, анализ которых позволяет установить некоторые важные для практики положения. Первоначально рассмотрим характеристику с ограничением, график которой показан на рис. 12.1. В соответствии с формулами (12.2) находим, что

где а — значение аргумента, при котором наступает ограничение

Из выражения (12.4) следует важный вывод: для однозначных нелинейных характеристик коэффициент гармонической линеаризации равен нулю и уравнение гармонической линеаризации имеет вид

Рис. 12.1. К определению коэффициентов гармонической линеаризации

Рис. 12.2. Зависимость коэффициента гармонической линеаризации нелинейной характеристики с ограничением от амплитуды входного сигнала

Рис. 12.3. Дискриминационная характеристика нелинейного звена

На рис. 12.2 изображена зависимость коэффициента гармонической линеаризации от амплитуды входного сигнала, рассчитанная по формуле (12.4).

Рассмотрим дискриминационную характеристику звена, график которой приведен на рис. 12.3. Характеристика однозначна, поэтому, как и в предыдущем случае, коэффициент гармонической линеаризации равен нулю. Коэффициент вычисляется по формулам при

при

На рис. 12.4 показана зависимость коэффициента от амплитуды сигнала, вычисленная по (12.5) и (12.6),

Рис. 12.4. Зависимость коэффициента гармонической линеаризации дискриминационной характеристики нелинейного звена от амплитуды входного сигнала

Рис. 12.5. К определению коэффициекта гармонической линеаризации нелинейной характеристики звена с люфтом

На рис. 12.5 изображена нелинейная характеристика звена с люфтом. Эта характеристика неоднозначна. Непосредственно из рис. 12.5 и формул (12.2) следует, что коэффициенты гармонической линеаризации определяются выражениями

при где

Графики изменения коэффициентов гармонической линеаризации характеристики звена люфтом показаны на рис. 12.6.

Рис. 12.6. Зависимость коэффициента гармонической линеаризации характеристик звена с люфтом от амплитуды входного сигнала

Рис. 12.7. К определению уравнения нелинейной системы РА

Таким образом, если характеристика нелинейного звена неоднозначна, то оба коэффициента гармонической линеаризации не равны нулю. Поэтому уравнение гармонической линеаризации (12.3) зависит не только от амплитуды, но и от частоты сигнала на входе нелинейного звена.