ГЛАВА 11. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

§ 11.1. ВЕКТОРНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Современная теория дискретных систем РА, так же как и непрерывных, базируется на описании процессов в пространстве состояний. Познакомимся с методами математического описания в пространстве состояний систем РА с одним входом и одним выходом.

Рассмотрим системы, дискретные передаточные функции которых имеют вид

где — входной сигнал; выходной сигнал.

Передаточной функции (11.1) соответствует разностное уравнение

В аргументах выражения (11.2) для сокращения записи множитель опущен, также будем поступать и дальше.

Введем обозначение

и составим следующую систему из разностных уравнений первого порядка:

Неизвестные коэффициенты в системе уравнений (11.4) определяют из условия эквивалентности системы разностных уравнений (11.4) исходному разностному уравнению (11.2) и вычисляют последовательно по формулам:

Уравнения (11.3) и (11.4) перепишем в матричной форме:

где

— вектор переменных состояния размером

— матрица системы размером ;

— матрица управления размером

— матрица наблюдения размером транспонированная матрица наблюдения; -порядок системы.

Выражение (11.6) называют векторным разностным уравнением системы, а выражение -уравнением выхода.

Для пояснения физического смысла введенных переменных состояния на рис. 11.1, а изображена структурная схема, составленная по уравнениям (11.6) и (11.7),

которая отличается от схемы непрерывной системы (см. рис. 8.1) тем, что в схеме цифровой системы вместо векторного интегратора введен вектор запаздывания. На рис. 11.1,б показана структурная схема, в которой изображены все составляющие вектора состояния.

Рис. 11.1. Структурная схема цифровой системы: а — в векторной форме; в переменных состояния

Из этой схемы видно, что переменные состояния — это дискретные значения сигнала в текущий момент времени и его значения в предыдущие моменты времени.

Аналогично непрерывным системам составляющие вектора переменных состояний можно рассматривать как оси координат многомерного пространства состояния системы. С течением времени вектор состояния изменяет свое значение и положение, его конец описывает в пространстве состояния некоторую кривую, называемую траекторией движения системы. Очевидно, что эта траектория зависит от начального состояния и входного сигнала.

Матрица системы А определяет устойчивость и другие показатели качества работы системы, матрица управления В характеризует влияние на переменные состояния входного сигнала, а матрица наблюдения С устанавливает

связь выходного сигнала системы с вектором переменных состояния.

Так же как и в непрерывных, выбор переменных состояния в цифровых системах является неоднозначной операцией, т. е. векторное разностное уравнение зависит от выбранных переменных состояния. Однако все возможные векторные уравнения эквивалентны, так как описывают один и тот же динамический процесс связи выходного сигнала системы с входным. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пример 11.1. Найти векторное разностное уравнение для системы, дискретная передаточная функция которой

Решение. Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение

На основании выражений (11.4), (11.7) получим, что

Уравнения системы в пространстве состояний получаются следующими:

а уравнение выхода имеет вид

На рис. 11.2, а изображена структурная схема рассматриваемой системы, построенная по уравнениям (11.8) и (11.9), из которой видно, что переменные состояния — это сигналы на выходах звеньев запаздывания.

Представим передаточную функцию системы в виде

Такой передаточной функции соответствует структурная схема, приведенная на рис. 11.2,б. Выберем в качестве переменных состояния сигналы на выходах звеньев запаздывания. Тогда можно записать следующую систему уравнений:

В этом случае уравнение выхода имеет вид

Перепишем выражения (11.10) и (11.11) в матричной форме:

где вектор переменных состояния

Рис. 11.2. Схемы системы второго порядка: а — относительно дискрет выходного сигнала; б - относительно полюсов системы

Из уравнений и (11.11) следует, что различным переменным состояния соответствуют различные матрицы системы, управления и наблюдения, но связь выходного сигнала системы с входным остается неизменной:

Ранее цифровые системы РА в пространстве состояний описаны для стационарных систем. В нестационарных системах матрицы системы управления и наблюдения являются переменными, и векторные разностные

уравнения имеют такой вид

В общем случае цифровая система имеет входов и выходов. При этом вид векторных разностных уравнений остается таким же, как и в (11.12) и (11.13), в которых матрица системы А имеет тот же вид, что и в системах с одним входом и одним выходом, изменяются лишь матрицы управления и наблюдения. Матрица управления становится прямоугольной размером а матрица наблюдения имеет размер