§ 10.7. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Точность цифровых систем РА характеризуется как статическими, так и динамическими ошибками, оцениваемыми относительно медленно изменяющихся воздействий. Если динамическая ошибка существует, то она может быть найдена по -преобразованию ошибки по теореме о конечном значении (10.12). В противном случае, когда предельное значение динамической ошибки равно бесконечности, она вычисляется по формуле

где коэффициенты ошибок по положению, скорости, ускорению и т. д.

Коэффициенты ошибок находят по передаточной функции ошибки

Выражение (10.56) неудобно для расчетов, поэтому

коэффициенты ошибок рассчитывают по формулам

В астатических системах несколько первых коэффициентов ошибок равны нулю: где порядок астатизма. В этом случае ошибка относительно сигнала (10.37) равна нулю. Ошибка системы

где — стационарный случайный сигнал с математическим ожиданием выходной сигнал системы.

Найдем среднюю квадратическую ошибку системы, на вход которой подается воздействие

где -случайная стационарная помеха с нулевым математическим ожиданием.

Для ошибки -преобразование определяется выражением

где -передаточная функция ошибки; передаточная функция замкнутой системы.

После окончания переходного процесса суммарная ошибка (10.58) образует дискретный сигнал, математическое ожидание которого рассчитывается по формуле (10.60) с помощью теоремы о конечном значении (10.12):

Средняя квадратичная ошибка системы вычисляется через ее спектральную плотность, которая находится так же, как и в непрерывных системах. Поэтому аналогично (6.19) спектральная плотность ошибки

где -спектральная плотность сигнала; спектральная плотность помехи; — взаимные спектральные плотности.

Дисперсия ошибки системы

Если для расчета дисперсии ошибки использовать спектральную плотность относительно псевдочастоты (10.39), то в соответствии с (10.63)

Для вычисления интеграла (10.64) используем формулы, приведенные в приложении . В результате найдем, что средняя квадратическая ошибка системы

дисперсия ошибки относительно сигнала; дисперсия ошибки из-за действия помехи; агехп, составляющие, обусловленные корреляцией сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Если сигнал и помеха в (10.59) некоррелированы, то последние два слагаемых в выражениях (10.62) и (10.65) равны нулю.

Иногда точность цифровых систем РА оценивается суммарной средней квадратической ошибкой:

где математическое ожидание ошибки, вычисляемой по формуле (10.61).

Пример 10.7. Определить суммарную среднюю квадратичную ошибку цифрового дальномера с одним интегратором, на вход которого действует помеха в виде белого шума и сигнал (измеряемая дальность) где начальное значение дальности; скорость изменения дальности.

Решение. Передаточные функции дальномера в соответствии с выражениями (10.29), (10.33) и (10.34)

Динамическую ошибку дальномера вычислим через коэффициенты ошибок. В результате найдем, что

где коэффициент ошибки по скорости, рассчитываемый по формуле (10.57).

Спектральная плотность ошибки дальномера относительно помехи, согласно (10.62),

где спектральная плотность белого шума.

Спектральную плотность относительно псевдочастоты найдем по (10.68) с учетом (10.40):

Дисперсия ошибки измерения, возникающей из-за помехи,

Для вычисления интеграла (10.69) использована формула для приведенная в приложении

Из выражения (10.69) следует, что с увеличением периода дискретизации ошибка измерения дальности растет и при будет равна бесконечности, что связано с нарушением устойчивости дальномера.

Суммарная средняя квадратическая ошибка дальномера с одним интегратором в соответствии с (10.66)