§ 10.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

На математическом аппарате -преобразования строится современная теория дискретных и цифровых систем РА. С целью определения -преобразования найдем преобразование Лапласа последовательности мгновенных импульсов (10.4). В результате получим

Функцию называют дискретной.

Введем обозначение Тогда выражение (10.6) принимает вид

Функцию называют -преобразованием сигнала

Пример 10.1. Определить -преобразование сигнала

Решение. В соответствии с (10.7)

В этом выражении применена формула геометрической прогрессии. В приложении приведены -преобразоваиия снгиалов,

наиболее часто используемых в системах РА. Более полная таблица приведена в [5].

Свойства -преобразования описаны в [5], поэтому ограничимся указанием некоторых из них, которые требуются для дальнейшего изложения.

1. Свойство линейности. Если

2. Первая теорема смещения. Если то для целых

3. Вторая теорема смещения. Если то для целых

4. Свертка функций. Если то

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

Начальное значение сигнала вычисляют по формуле

6. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее -преобразованшо определяют следующим контурным интегралом:

Ранее определили -преобразование для случая, когда возникновение сигнала совпадает с моментом очередной посылки единичных импульсов несущей. Если сигнал запаздывает на то последовательность мгновенных импульсов имеет вид

При этом -преобразование вычисляется по формуле

Выражение (10.16) характеризует -преобразование запаздывающих сигналов или модифицированное -преобразование. В приложении приведены модифицированные -преобразования для наиболее часто встречающихся сигналов; более полные таблицы приведены в [5].

Непосредственно из выражений (10.7) и (10.16) следует, что -преобразование несмещенного сигнала определяется через -преобразование запаздывающего сигнала с помощью следующего предельного перехода:

Помимо рассмотренного математического аппарата -преобразования для исследования цифровых систем РА применяется аппарат дискретного преобразования Лапласа, который подробно рассмотрен в [20].