§ 13.2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Синтез оптимальных систем, как отмечалось в § 7.1, начинается с выбора критерия оптимальности, общей формой которого является следующий квадратичный функционал:

где вектор ошибки; вектор управления.

Матрицы квадратичных форм определяются выражениями

Множитель 1/2 в (13.1) введен для удобства и не влияет на результат решения оптимальной задачи.

Рассмотрим частные случаи применения критерия (13.1). Если при синтезе систем РА важно оптимизировать лишь конечное состояние объекта управления при заданном начальном, то в (13.1) следует ограничиться только одним первым слагаемым. Примером таких систем являются системы радиоуправления самонаведением летательных аппаратов, в которых требуется обеспечить наименьшую ошибку в момент пролета летательного аппарата относительно цели.

При синтезе систем, в которых накладываются требования к виду переходного процесса и точности системы, первое слагаемое в (13.1) можно не вводить.

Если в проектируемой системе необходимо достичь минимальную длительность переходного процесса, то используется критерий вида

Задача синтеза оптимальных систем заключается в следующем. Известно векторное дифференциальное уравнение объекта управления необходимо найти вектор управления (алгоритм управления), который переводит объект управления из начального состояния в конечное, удерживает в этом конечном состоянии или изменяет его в соответствии с входным сигналом, обеспечивая при этом экстремальное значение критерия оптимальности. Синтез считается законченным, если алгоритм управления найден как функция вектора переменных состояния объекта управления при известных ограничениях на составляющие вектора управления.

Рассмотрим синтез системы стабилизации, полагая, что входной сигнал равен "нулю, а объект управления

описывается векторным дифференциальным уравнением вида

где выходной вектор объекта управления.

Критерий оптимальности имеет вид

где так как входной вектор равен нулю.

В критерии (13.4) по сравнению с (13.1) отсутствует первое слагаемое, так как при оценка конечного состояния не имеет смысла. Кроме того, верхний предел интегрирования в (13.4) равен бесконечности. При этом можно гарантировать, что после окончания переходного процесса достигнутое нулевое состояние будет сохранено. Для решения оптимальной задачи стабилизации используем принцип максимума Понтрягина, согласно которому оптимальный вектор управления соответствует максимуму скалярной функции Гамильтона, определяемой выражением

Подставив уравнение (13.3) в (13.5), найдем что

В последних двух выражениях через обозначен вспомогательный вектор, являющийся решением векторного дифференциального уравнения

Производную вектора состояния определим из (13.5)

Систему дифференциальных уравнений (13.7) и (13.8) называют канонической.

Исследование функции (13.6) на максимум относительно вектора управления позволяет определить

оптимальное управление

Из (13.9) следует, что для вычисления оптимального управления нужно найти вектор Для этого необходимо решить каноническую систему уравнений (13.7) и (13.8), начальными условиями для которой являются начальное состояние объекта управления и конечное значение Вычислив найдем оптимальное управление как функцию времени, которое предварительно должно быть рассчитано и запомнено, после чего оно может быть подано на объект управления. Очевидно, что при таком способе управления получается разомкнутая система со всеми присущими ей недостатками. Поэтому следует получить оптимальное управление через вектор переменных состояния Для этого необходимо вектор выразить через

Матрица усиления К удовлетворяет следующему матричному уравнению:

где

Подставив (13.10) в формулу (13.9), определим

На рис. 13.1 показана структурная схема оптимальной системы стабилизации. Система линейна, так как на вектор управления не наложено никаких ограничений.

Рис. 13.1. Структурная схема оптимальной системы стабилизации

Определение матрицы К по (13.11) сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Так как К — симметричная матрица, то число уравнений равно где порядок вектора состояния. Из найденных решений следует отобрать только то, при котором матрица К является положительно определенной.

Для вычисления элементов матрицы К могут быть использованы ЭВМ, на которых следует решить

матричное уравнение Риккати:

с граничными условиями где время выбрано достаточном большим. Если момент времени принять начальным, а начальным условием, то матрица К определяется как асимптотическое решение уравнения Риккати при уменьшении времени. Для того чтобы получить решение уравнения Риккати, соответствующее увеличению времени, вводят переменную Тогда уравнение (13.13) принимает вид

Это уравнение решается на ЭВМ с начальным условием При достаточно большом установившееся значение позволяет найти элементы матрицы К.

Рассмотрим синтез оптимальной системы слежения, качество работы которой оценивается функционалом

где вектор ошибки; входной вектор.

Объект управления описывается уравнением (13.3), оптимальное управление в задаче слежения определяется выражением (13.9), в котором вспомогательный вектор зависит не только от вектора состояния объекта управления, но и от входного вектора:

где неизвестный вектор, являющийся решением уравнения

Так как известен, то уравнение (13.16) может быть решено при граничных условиях Для входных сигналов, не удовлетворяющих этим граничным условиям, решение оптимальной задачи слежения не найдено.

Для определения вектора в системе должно быть предусмотрено специальное вычислительное устройство, этот вектор можно рассчитать заранее и поместить в память вычислителя.

Пример 13.1. Определить алгоритм оптимального управления для системы, передаточная функция объекта управления которой Такую передаточную функцию имеет, например, разомкнутая система ФАПЧ без фильтра нижних частот.

Решение. Данной передаточной функции соответствует система уравнений в пространстве состояний:

Критерий оптимальности

Таким образом, в рассматриваемой системе

В соответствии с уравнением (13.12) оптимальное управление имеет вид

Элементы матрицы усиления в последнем выражении определим из решения системы алгебраических уравнений, которая получается из уравнения (13.11):

Передаточная функция оптимальной системы стабилизации

где

Найдем оптимальное управление для задачи слежения при входном сигнале Оптимальное управление определяется выражениями (13.9) и (13.15):

Параметр рассчитай в соответствии с (13.15) из следующей системы уравнений:

где

На рис. 13.2 показана структурная схема спроектированной системы, для вычисления которой включено вычислительное устройство. Передаточную функцию этого устройства определим из последней системы уравнений:

Рис. 13.2. Структурная схема оптимальной системы второго порядка

В оптимальных системах стабилизации и слежения, рассмотренных ранее, полагали, что вектор состояния объекта управления полностью известен, т. е. его можно измерить с помощью соответствующих датчиков. В действительности это нереально. Обычно можно измерить только часть переменных состояния или какое-либо их сочетание, при этом измерения содержат случайные ошибки. Кроме того, сама система, как правило, подвержена воздействию случайных возмущений. Таким образом, для формирования оптимального управления необходимо предварительно оценить вектор состояния, что может быть сделано при построении математической модели объекта управления.

Для объекта управления, описываемого уравнениями (13.3) оценку состояния можно осуществить в соответствии с математической моделью

где оценка вектора состояния

Если начальные значения векторов равны, то в любой момент времени Однако точное значение получить невозможно, поэтому оценка по модели (13.17) дает большие ошибки. Для устранения этого недостатка на вход оценивателя состояния

кроме сигнала подают сигнал рассогласования а вместо уравнения (13.17) используют уравнение

или

где вектор усиления оценивателя размером размерность выходного вектора.

Составляющие вектора выбирают такими, чтобы

Если собственные значения матрицы в (13.20) выбрать так, чтобы их вещественные части были отрицательными, то при любых начальных значениях обеспечивается выполнение (13.20).

После того как найдена оценка вектора состояния объекта управления, можно использовать алгоритм управления, полученный в задачах оптимальной стабилизации и слежения. На рис. 13.3 показана полная структурная схема оптимальной системы стабилизации с оценивателем

Рис. 13.3. Полная структурная схема оптимальной системы стабилизации

вектора состояния и обратной связью. Оцениватель построен в соответствии с уравнением (13.18). Сравнение этого уравнения с (11.58) показывает, что оцениватель — это оптимальный фильтр Калмана, характеристики которого зависят от динамических свойств объекта управления и помех, но не зависят от критерия оптимальности системы управления.

Оценка состояния и оптимальное управление по квадратичному функционалу (13.4) представляет собой двойственную дуальную задачу. Если одна из них решена, то в соответствии с принципом дуальности нетрудно решить и другую. Поэтому при решении задач фильтрации и детерминированного управления могут использоваться одни и те же программы для ЭВМ.