§ 11.6. НЕПРЕРЫВНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА

Определим непрерывный оптимальный фильтр на основе дискретного фильтра, рассмотренного в § 11.4. Первоначально рассмотрим методику перехода к непрерывной модели векторного дифференциального уравнения от разностного уравнения (11.20). С этой целью заменим аргументы в уравнении на на и разложим матрицу перехода в ряд Тейлора по степеням ограничившись

первыми степенями . В результате получим, что

Так как то выражение (11.53) принимает вид

Аналогично, для матрицы перехода по управлению

Подставив уравнения (11.54) и (11.55) в выражение (11.20), найдем

Перенеся из правой части в левую и перейдя к пределу при получим

Аналогичным образом для уравнения выхода

Если применить рассмотренную методику предельного перехода от дискретной модели к непрерывной для векторного разностного уравнения оптимального дискретного фильтра (11.38), то непрерывный оптимальный фильтр будет описывать следующим векторным дифференциальным уравнением с начальными условиями:

Уравнению (11.58) соответствует структурная схема, показанная на рис. 11.5, из которой видно, что оптимальный фильтр — это нестационарная система с обратной связью, внутренним контуром которой является формирующий фильтр сигнала.

Матрица усиления в (11.58) находится из разностного уравнения (11.45) и имеет вид

где — матрица интенсивностей белого шума вектора помехи.

Матрица корреляционных моментов ошибки вектора в выражении (11.59) удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению

с начальными условиями

Рис. 11.5. Структурная схема оптимального непрерывного фильтра

Выражение (11.60) в теории оптимальных систем называют уравнением Риккати. Это нелинейное уравнение, которое в общем виде не решается. Поэтому вычисление элементов матрицы корреляционных моментов ошибки фильтрации сводится к решению системы из дифференциальных уравнений первого порядка, которая получается путем приравнивания в уравнении (11.60) элементов матрицы слева соответствующим элементам матрицы справа. Так как матрица симметричная, то число уравнений равно где порядок формирующего фильтра. Из найденных решений следует отобрать только то, при котором матрица положительно определена (см. приложение ), такое решение является единственным.

В установившемся режиме поэтому и уравнения (11.58), (11.59) и (11.60) принимают такой вид:

Уравнение (11.63) в общем виде также не решается, поэтому элементы матрицы определяются из решения системы алгебраических уравнений, получаемых из после выполнения умножения и сложения матриц в правой части уравнения (11.63). Из найденных решений необходимо отобрать только то решение, при котором матрица положительно определена.

Отметим, что передаточная функция оптимального фильтра, соответствующая уравнениям (11.61) и (11.62), совпадает с передаточной функцией, получаемой при синтезе оптимального фильтра по методу Винера.

Найденный оптимальный фильтр может быть использован для проектирования оптимальной системы РА. Если проектируемая система является счетно-решающим устройством, то при технической реализации могут быть применены однотипные интеграторы и сумматоры, используемые в вычислительной технике. Если проектируемая система предназначена для управления динамическим объектом, то реализация оптимальной системы сводится к определению структуры и параметров корректируемого устройства, подключение которого к объекту управления позволяет получить оптимальную систему. При стационарных сигнале и помехе реализация оптимальной системы упрощается. В этом случае матрицы в уравнениях (11.58) и (11.59) не зависят от времени, поэтому можно найти передаточные функции оптимальной системы и затем, используя методику гл. 7, определить передаточные функции корректирующих устройств, которые в данном случае будут стационарными.

Заметим, что ранее оптимальные решения найдены для случая, когда неслучайная составляющая сигнала равна нулю. В противном случае оптимальный фильтр дает смешанную оценку сигнала, т. е. неслучайная составляющая оценки сигнала не будет равна соответствующей составляющей сигнала. Если необходимо, чтобы неслучайные составляющие оценки и сигнала были равны, то следует использовать оптимальный фильтр для несмещенной оценки.

Пример Определить из условия минимума среднеквадратической ошибки в установившемся режиме структурную схему и параметры оптимальной системы, на которую действует смесь

сигнала и помехи со спектральными плотностями

Решение. Передаточная функция формирующего фильтра сигнала — это инерционное звено с постоянной времени и коэффициентом усиления, равным единице. Такой передаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее дифференциальное уравнение:

где

В пространстве состояний последнее уравнение имеет вид

Таким образом, в рассматриваемой задаче

В установившемся режиме из уравнения (11.61) следует, что оценка сигнала

Для вычисления коэффициента усиления оптимальной системы необходимо найти дисперсию ошибки фильтрации, для чего нужно решить уравнение (11.63), которое в данном примере следующее;

Согласно последнему квадратному уравнению, дисперсия ошибки фильтрации

где

Коэффициент усиления рассчитаем по формуле

На рис. 11.6 показана структурная схема оптимальной системы. Передаточная функция системы

где

Полученная передаточная функция оптимальной системы совпадает с передаточной функцией, найденной по методу Винера в примере 9.2.

Пример 11.5. Спектральные плотности сигнала и помехи характеризуются выражениями Определить структурную схему и параметры оптимальной системы.

Решение. Формирующий фильтр состоит из двух интегрирующих звеньев, соединенных последовательно. Такому фильтру соответствует дифференциальное уравнение

где белый шум интенсивностью

Уравнения фильтра в пространстве состояний:

Уравнение выхода фильтра: Таким образом,

Рис. 11.6. Структурная схема оптимальной системы РА

Ограничимся рассмотрением установившегося режима, уравнение Риккати в котором определяется (11.63) и для данного примера имеет такой вид:

Из последнего выражения получим следующую систему алгебраических уравнений с неизвестными элементами матрицы корреляционных моментов ошибки:

Матрица симметричная, поэтому и решение системы алгебраических уравнений будет следующим:

Матрица усиления определяется уравнением (11.62):

Уравнения оптимальной системы имеют вид

где

Рис. 11.7. Структурная схема оптимальной системы второго порядка

На рис. 11.7 изображена структурная схема найденной оптимальной системы, передаточная функция которой

где постоянная времени.

(см. скан)