§ 10.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

На рис. 10.12 изображена структурная схема замкнутой цифровой системы РА, в которой цифровой фильтр с передаточной функцией является последовательным корректирующим устройством.

Рис. 10.12. Структурная схема замкнутой цифровой системы РА

Передаточные функции замкнутой системы определяются так же, как и в непрерывных системах. Так, передаточная функция замкнутой системы через передаточную функцию разомкнутой системы

а передаточная функция ошибки

Полученные передаточные функции используются для анализа устойчивости и качества работы цифровых систем.

При определении смещенной передаточной функции замкнутой системы следует иметь в виду, что звено запаздывания, с помощью которого учитывается смещение во времени, подключается на выходе системы к цепи фиктивного дискретизатора. Поэтому, согласно (10.33),

где — смещенная передаточная функция разомкнутой системы (10.32).

Аналогичным образом можно найти передаточные функции цифровых систем, структурные схемы которых отличаются от рассмотренной.

Цифровые системы РА, так же как и непрерывные системы, в зависимости от ошибки в установившемся режиме подразделяются на статические и астатические. Ошибка в установившемся режиме в дискретные моменты времени находится по теореме о конечном значении (10.12). При входном сигнале

Ошибку, определяемую последним выражением, считают статической. Если эта ошибка не равна нулю, то цифровую систему называют статической, в противном случае система относится к классу астатических. Из выражения (10.36) следует, что в астатической системе передаточная функция ошибки равна нулю в точке что выполняется, если передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с (10.34) имеет полюс в этой же точке.

В общем случае, когда передаточная функция разомкнутой цифровой системы содержит в точке полюс кратности то порядок астатизма системы равен и дискретные значения ошибки равны нулю при входном сигнале вида

Выражения для частотных характеристик цифровых систем получаются из их передаточных функций путем замены оператора Так как частота входит в показатель степени числа то частотные характеристики оказываются периодическими функциями частоты, период изменения которых равен Следовательно, нельзя различить составляющие, частоты которых кратны частоте работы дискретизатора На рис. 10.13 показан годограф вектора Нулевой частоте на годографе соответствует точка на вещественной оси, при изменении частоты от нуля до единичный вектор на плоскости комплексного переменного совершает один оборот.

Рис. 10.13. Годограф

Частотные характеристики цифровых систем РА описываются трансцендентными выражениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому на практике применяются частотные характеристики относительно псевдочастоты. Переход к псевдочастоте основан на введении комплексной переменной

Величину

называют псевдочастотой.

Удобство псевдочастоты заключается в том, что на частотах на которых выполняется условие она приближенно равна круговой частоте. Нетрудно убедиться, что при изменении частоты псевдочастота принимает значения от а комплексная

переменная движется по мнимой оси до внутренняя часть круга единичного радиуса на плоскости комплексной переменной отображается в левую плоскость комплексной переменной

Таким образом, частотные характеристики относительно псевдочастоты определяются выражением

Рис. 10.14. Плоскость комплексного переменного

Пример 10.4. Найти частотные характеристики разомкнутого дальномера с одним интегратором, передаточная функция которого определяется выражением (10.29).

Решение. Частотная характеристика дальномера относительно круговой частоты

Амплитудная и фазовая частотные характеристики дальномера имеют вид

Частотная характеристика относительно псевдочастоты в соответствии с выражением (10.40)

Тогда

Очевидно, что построение частотных характеристик относительно псевдочастоты проще, чем относительно круговой частоты.

Определим частотный спектр сигнала на выходе дискретизатора. Последовательность единичных импульсов является периодической, поэтому может быть разложена в ряд Фурье:

где

— коэффициенты ряда.

Сигнал на выходе дискретизатора с учетом (10.41) можно записать как

Применив к последнему выражению преобразование Лапласа и заменив в полученном выражении найдем, что

Из этого выражения следует, что спектр сигнала на выходе дискретизатора является периодическим и содержит высокочастотные составляющие.

Так как сигнал на выходе дискретизатора существует только в дискретные моменты времени, то прохождение сигнала через дискретизатор связано с потерей информации. Однако при ограниченном спектре сигнала можно вновь восстановить сигнал по последовательности мгновенных импульсов на выходе дискретизатора. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие теоремы Котельникова:

Услие (10.43) используется для выбора частоты работы дискретизатора. При этом нужно иметь в виду, что реальные сигналы имеют неограниченные спектры, хотя и убывающие при стремлении частоты к бесконечности, поэтому условие теоремы Котельникова нужно рассматривать как приближенное утверждение, определяющее наименьшую частоту работы дискретизатора.

Аналогично (10.42) запишем частотную характеристику импульсного фильтра через частотную характеристику его приведенной непрерывной части:

С ростом частоты модуль частотной характеристики приведенной непрерывной части фильтра уменьшается, поэтому при нахождении частотной характеристики импульсного фильтра можно в выражении (10.44) ограничиться только двумя или тремя слагаемыми.

Проанализируем условия неискаженной передачи сигнала импульсным фильтром. Одно из условий определено период работы дискретизатора должен удовлетворять условию теоремы Котельникова. Кроме того, для неискаженной передачи сигнала нужно отфильтровать все высокочастотные составляющие спектра сигнала (10.42). Для этого необходимо, чтобы ширина полосы пропускания приведенной непрерывной части импульсного фильтра была меньше граничной частоты в спектре сигнала. При этом приближенно можно считать, что частотные характеристики импульсного фильтра и приведенной непрерывной части связаны соотношением

Очевидно, что в этом случае частотные свойства импульсного фильтра совпадают со свойствами приведенной непрерывной части.