§ 7.4. СИНТЕЗ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ О ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Раисе при динамически синтезе систем РА полагали, что характеристики управляющих воздействий и помех изветны, т. е. заданы их математические ожидания и спектральные плотности случайных составляющих.

На практике это не всегда так. Характеристики воздействий обычно известны не полностью. Кроме того, они изменяются в процессе работы системы, поэтому показатели качества работы могут оказаться ниже расчетных.

Построение систем РА с использованием адаптивных систем позволяет исключить зависимость показателей качества работы от изменения характеристик воздействия и нестабильности параметров устройств. Адаптивные системы анализируются в гл. 13, здесь же рассмотрим синтез робастных систем (от английского слова robust - грубый), в которых показатели качества работы можно обеспечить не ниже заданных. Техническая реализация таких систем РА по сравнению с адаптивными намного проще, что является их существенным преимуществом.

Синтез робастных систем может быть выполнен различными методами [14]. Применительно к задачам синтеза систем РА целесообразно использовать метод, основанный на известных средних квадратических значениях управляющего воздействия и его производных. Данный метод не связан с конкретной формой спектральной плотности управляющего сигнала, поэтому её изменение не приводит к несоблюдению точности работы системы РА.

Рассматриваемый метод синтеза систем РА сводится к выбору частотной характеристики ошибки из условия не превышения средней квадратической ошибкой заданного значения. После этого можно сформулировать требования к частотной характеристике разомкнутой системы.

Дисперсия ошибки относительно управляющего воздействия в соответствии с выражением (6.20)

где -частотная характеристика ошибки; допустимое значение дисперсии ошибки.

Представим квадрат АЧХ ошибки в следующем виде:

Тогда дисперсия ошибки (7.43)

где дисперсия управляющего воздействия; дисперсии производных; — постоянные коэффициенты.

Задача синтеза системы состоит в выборе характеристики удовлетворяющей условию (7.43). Если известна только дисперсия управляющего воздействия то из выражения (7.45) следует, что и частотная характеристика ошибки проектируемой системы должна удовлетворять условию

где - АЧХ ошибки, составленная по априорным сведениям об управляющем воздействии.

Таким образом, ошибка не должна превышать значения (7.46) в диапазоне частот, в котором возможны спектральные составляющие управляющего воздействия.

В том случае, когда известна только дисперсия первой производной управляющего воздействия то и частотная характеристика ошибки проектируемой системы должна удовлетворять условию

Если известна только дисперсия второй производной управляющего воздействия, то

От ограничений, накладываемых на АЧХ ошибки, можно перейти к требованиям, которым должна удовлетворять частотная характеристика разомкнутой проектируемой системы. Из выражений (4.10) и (4.14) следует, что

Так как на частотах меньше частоты среза (см. § 6.3), то условия (7.46) — (7.48) выполняются, если

а ФЧХ разомкнутой системы может быть произвольной.

На частотах больше частоты среза и поэтому вид частотной характеристики разомкнутой системы не влияет на точность системы РА и может быть произвольным, но при этом требования к запасам устойчивости должны соблюдаться.

Выполнение условия (7.50) гарантирует, что динамическая ошибка будет не выше заданной.

Очевидно, что выражениям (7.46) и (7.50) на рис. 7.8 соответствует прямая линия, параллельная оси частот и отстоящая от нее на условиям (7.47) и (7.50) — прямая с наклоном -20 дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс на частоте, равной , а условиям (7.48) и -прямая с наклоном -40 дБ/дек, которая начинается на оси абсцисс с частоты Эти прямые образуют запретную область, в которой не должна располагаться низкочастотная часть логарифмической АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА. Частоты, соответствующие точкам излома запретной области, вычисляют по формулам

Рис. 7.8. ЛЧХ запретной области относительно динамической ошибки

Рассмотрим ограничения на вид АЧХ разомкнутой проектируемой системы из-за действия помехи, спектральная плотность которой известна и постоянна в пределах полосы пропускания системы РА (помеха в виде белого шума). Тогда дисперсия ошибки из-за действия помехи

где эффективная полоса пропускания системы; уровень спектральной плотности белого шума помехи.

Задача синтеза системы РА заключается в том, чтобы суммарная средняя квадратическая ошибка системы не превышала допустимого значения:

где средняя квадратическая ошибка из-за действия помехи.

Условие (7.53) накладывает противоречивые требования к проектируемой системе РА. С одной стороны, средняя квадратическая ошибка относительно сигнала должна быть меньше так как в противном случае не будет выполнено условие (7.53), а с другой — не должна превышать этого значения и составляющая ошибки сгеп. Поэтому эффективная полоса пропускания проектируемой системы

Таким образом, при синтезе системы РА необходимо обеспечить одновременное удовлетворение условий (7.50) и (7.54). Если эти условия выполнить одновременно невозможно, то при заданном значении решения задачи проектирования робастной системы РА не существует.

Определим, какие ограничения накладывает условие (7.54) на АЧХ разомкнутой системы. С этой целью рассмотрим типовую логарифмическую АЧХ, низкочастотные участки которой содержат асимптоты с наклонами —20, —40 или -60 дБ/дек. При этом всегда в области частоты среза наклон логарифмической АЧХ равен -20 дБ/дек, так как только в этом случае можно обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе.

В [14] показано, что для систем РА с такими наклонами логарифмической АЧХ разомкнутой системы эффективная полоса пропускания системы с достаточной для практики точностью определяется по формуле

где частота, соответствующая точке пресечения асимптоты логарифмической АЧХ с наклоном -20 дБ/дек с осью абсцисс; I — коэффициент, равный 1, 2 или 3, в зависимости от наклона асимптоты, для которой определена частота

Согласно (7.54) и (7.55),

Это выражение определяет крайнее допустимое положение логарифмической АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА, или что то же самое, границу запретной области, в которой не должна располагаться логарифмическая АЧХ разомкнутой системы. Построение запретной

области осуществляется следующим образом. На оси абсцисс (рис. 7.9) через точку проводят прямую с наклоном -20 дБ/дек, а через точки прямые с наклонами -40 и -60 дБ/дек.. В результате формируется запретная область, заштрихованная на рис. 7.9.

Рис. 7.9. ЛЧХ запретной области относительно возмущающего воздействия

Рис. 7.10. ЛЧХ общей запретной области

Требования к точности работы проектируемой системы РА относительно возмущающего воздействия выполняются, если ее логарифмическая АЧХ не заходит в запретную область.

На рис. 7.10 показаны две запретные области, определенные ранее. Для обеспечения в проектируемой системе РА заданной точности необходимо, чтобы выбранная логарифмическая АЧХ разомкнутой системы не располагалась в запретных областях и удовлетворяла требованиям к запасам устойчивости. На рис. 7.10 такая характеристика показана пунктиром. Если запретные области на рис. 7.10 перекрываются, то синтез робастной системы при заданных точностных характеристиках не возможен.

В [14] показано, что для гарантированного получения заданной точности должен быть обеспечен некоторый интервал между левой и правой запретными областями, минимальная ширина этого интервала должна составлять около четверги декады.