§ 6.5. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА СИСТЕМЫ

Качество работы систем РА при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчета составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или ее спектральную плотность.

Прежде чем рассматривать методы вычисления суммарной средней квадратической ошибки, установим, через какие передаточные функции в выражение для суммарной ошибки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы подается воздействие вида

где — случайный сигнал; — случайная помеха.

Суммарная ошибка системы (рис. 6.6)

где выходной сигнал системы.

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки

где — передаточная функция замкнутой системы; передаточная функция ошибки анализируемой системы; преобразования Лапласа для сигнала и помехи.

Рис. 6.6. К определению суммарной ошибки

Из выражения (6.12) следует, что суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, — от передаточной функции замкнутой системы.

При анализе средней квадратической ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. При этом математическое ожидание помехи будем полагать нулю, а случайный сигнал представим в виде

где математическое ожидание сигнала; — случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции (см. приложение П.1):

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки

где - дисперсия ошибки; — средняя квадратическая ошибка системы; ошибка системы; математическое ожидание от квадрата ошибки; — автокорреляционная функция ошибки.

На основании эргодической теоремы автокорреляционную функцию ошибки находят как среднее по времени

от произведения случайных составляющих ошибки, разделенных промежутком времени

где - случайная составляющая суммарной ошибки.

По теореме свертки (см. приложение П.1), согласно (6.12),

где импульсная переходная функция ошибки системы; — импульсная переходная функция замкнутой системы.

Так как рассматривают стационарный режим работы системы, то интегрирование в выражениях (6.16) берут от минус бесконечности.

Подставив выражения (6.16) в (6.15), после несложных преобразований найдем автокорреляционную функцию ошибки:

где автокорреляционная функция сигнала; -автокорреляционная функция помехи; взаимные корреляционные функции.

Подставив в последнее выражение вместо нуль, получим дисперсию ошибки системы:

Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее спектральную плотность, которая, как известно, равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции ошибки системы (6.17):

Подставив в это выражение формулу (6.17), определим спектральную плотность ошибки системы:

где — спектральная плотность сигнала; спектральная плотность помехи; взаимные спектральные плотности. Так как

то в соответствии с выражением (6.14) дисперсия ошибки

Если сигнал и помеха некоррелированы, то и выражения (6.16) — (6.20) упрощаются.

Первое слагаемое в (6.20) зависит как от АЧХ ошибки системы, так и от статистических характеристик сигнала, оно определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала Второе слагаемое в (6.20) зависит от АЧХ замкнутой системы и характеристик помехи, оно характеризует ошибку системы вследствие действия помехи Последние два слагаемых в (6.20) — составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с сигналом. Величину

называют суммарной средней квадратической ошибкой системы РА.

Вычисление средней квадратической ошибки через ее автокорреляционную функцию (6.17) связано с некоторыми трудностями, одна из которых связана с нахождением импульсной переходной функции анализируемой системы РА, другая — с вычислением (6.18). Поэтому на практике среднюю квадратическую ошибку рассчитывают через спектральную плотность ошибки по формуле (6.20), вычисление интеграла в которой производится по формулам, приведенным в приложении

В инженерной практике среднеквадратическая ошибка также находится с помощью графоаналитического метода. Для этого строят графики, соответствующие отдельным слагаемым выражения (6,19). Дисперсия ошибки для некоррелированных сигнала и помехи где площади под графиками спектральных плотностей (рис. 6.7, а, б).

Рис. 6.7. К определению средней квадратической ошибки системы РА

На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы пропускания системы РА постоянна.

При этом дисперсия ошибки системы из-за действия помехи

Величину

называют эффективной полосой пропускания системы РА. Из рис. 6.8 видно, что это основание прямоугольника, площадь которого равна площади, ограниченной графиком квадрата Дисперсия ошибки системы РА из-за действия помехи

Рис. 6.8. К определению эффективной полосы пропускания системы РА

В табл. 6.2 даны выражения для вычисления эффективной полосы пропускания систем РА, наиболее часто встречающихся в радиотехнических устройствах.

Таблица 6.2