§ 8.2. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА

Найдем решение векторного дифференциального уравнения (8.15), которое, как известно, состоит из решения однородного уравнения и составляющей, обусловленной действием входного сигнала Однородное уравнение получим из уравнения (8.15), положив . В результате найдем, что

Решение этого уравнения ищем в виде

где фундаментальная матрица; вектор, описывающий состояние системы в начальный момент времени

Из выражения (8.18) следует, что при фундаментальная матрица

где I — единичная матрица.

Подставив уравнение (8.18) в (8.17), найдем, что фундаментальная матрица удовлетворяет выражению

Проинтегрировав (8.20), получим

Определим вынужденную составляющую решения.

С этой целью положим, что

где — неизвестный вектор размером

Подставив (8.22) в исходное уравнение (8.15), найдем

С учетом Умножив слева последнее выражение на матрицу, обратную фундаментальной, получим

Проинтегрировав это уравнение, определим неизвестный вектор

Общее решение векторного уравнения (8.15) равно сумме (8.18) и (8.22). С учетом уравнения (8.23) оно имеет вид

Функцию

называют матрицей перехода системы РА. Отметим некоторые ее свойства.

1. В начальный момент времени матрица перехода равна фундаментальной матрице

так как

2. При матрица перехода равна единичной матрице, так как

В общем случае вычислить матрицу перехода сложно. Обычно для ее определения используются численные методы.

Для стационарных систем РА нахождение матрицы перехода упрощается. Решение уравнения (8.17) принимает вид

где матричная экспонента.

Матрица перехода в соответствии с выражением

Фундаментальную матрицу для стационарной системы определим, применив преобразование Лапласа к уравнению (8.20). В результате получим

Из последнего выражения найдем, что фундаментальная матрица

где характеристическая матрица, определитель которой позволяет определить характеристическое уравнение системы.

Очевидно, что матрица перехода зависит от выбора переменных состояния.

Пример 8.1. Найти матрицу перехода для системы РА, передаточная функция которой

Решение. В качестве переменных состояния выберем выходной сигнал и его первую производную. Тогда передаточной функции (8.30) соответствует векторное дифференциальное уравнение

и уравнение выхода

Таким образом, матрицы системы, управления и наблюдения принимают вид

Характеристическая матрица

Матрица, обратная характеристической (см. приложение П.4),

фундаментальная матрица определяется выражением (8.29)

Матрица перехода в соответствии с (8.28)

Найдем вектор переменных состояния при действии на систему управляющего воздействия и нулевом начальном состоянии. В соответствии с выражением (8.24)

Если в рассматирваемом примере переменными состояния выбрать вектор с составляющими определяемые через полюсы системы, то матрицы системы, управления и наблюдения получаются следующими:

При этом матрица перехода

Вектор переменных состояния при