ГЛАВА 5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ

§ 5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ

Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий. Процессы в системах РА описываются дифференциальными уравнениями вида

где символ дифференцирования; входной и выходной сигналы системы.

Решение уравнения (5.1) состоит из двух составляющих:

где решение неоднородного уравнения; переходная составляющая решения.

Система РА устойчива, если переходная составляющая решения стремится к нулю. Это означает, что если система выведена из состояния равновесия каким-либо возмущением, то она возвращается в исходное состояние после устранения этого возмущения.

Переходная составляющая решения уравнения (5.1) зависит от корней характеристического уравнения, которое получают из выражения (5.1), приравнивая левую часть нулю:

Переходная составляющая решения

где — корни характеристического уравнения (полюсы системы); постоянные интегрирования.

Действительному корню характеристического уравнения в выражении (5.4) соответствует слагаемое то переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если то эта составляющая неограниченно возрастает (рис. 5.1, а).

Рис. 5.1. К пояснению устойчивости системы РА: а - переходные составляющие для вещественных корней: б — пары комплексно-сопряженных корней; в — пары мнимых корней

Паре комплексно-сопряженных корней уравнения (5.3) соответствует слагаемое

где корни характеристического уравнения; постоянные интегрирования, определяемые через

При этом переходная составляющая стремится к нулю, если вещественные части корней отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей непрерывно возрастает (рис. 5.1,б).

Пара мнимых корней характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде колебаний с постоянной амплитудой (рис. 5.1, б):

Таким образом, для устойчивости системы РА необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные знаки, или эти

корни на плоскости комплексного переменного были расположены слева от мнимой оси. Только при этом все слагаемые в выражении (5.4) будут стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, то система РА находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система РА устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной, выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной.

В большинстве случаев корни характеристического уравнения системы вычислить невозможно, поэтому были разработаны правила (критерии), позволяющие судить о расположении корней на плоскости комплексного переменного без их расчета. Прежде чем воспользоваться для оценки устойчивости тем или иным критерием, следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости, в соответствии с которым все коэффициенты характеристического уравнения (5.1) должны быть больше нуля. Для доказательства этого положения представим уравнение (5.1) в виде

Если система устойчива, т. е. все корни отрицательные, то, раскрыв скобки (в (5.5), получим уравнение с положительными коэффициентами. Если система неустойчива, т. е. хотя бы один из корней положительный, то, перемножив сомножители в (5.5), получим уравнение с несколькими отрицательными коэффициентами. В дальнейшем будем полагать, что необходимое условие устойчивости выполняется.